EXERCICE 2 Soit la suite \( \left(u_{n}\right) \) définie par \( u_{0}=1 \) et \[ U_{n+1}=\frac{3 U_{n}}{3+2 U_{\mathrm{n}}} \] 1- Calculer les termes \( u_{1} \) et \( u_{2} \). 2- La suite ( \( u_{n} \) ) est-elle arithmétique? Géométrique? 3- Montrer par récurrence qué \( U_{n}>0 \). ( \( \forall n \in I N) \) 4- Etudie la monotonie de \( U_{n} \). 5- On admet que, pour tout \( n, U_{n} n ' \) est pas nul. On pose. \( V_{n}=1+\frac{3}{U_{n}} \) a. Calculer \( v_{0,}, v_{1} \), et \( v_{2} \). b. Calculer \( V_{n+1} \) en fonction de \( V_{n} \). En déduire que \( \left(V_{n}\right) \) est une suite arithmétique.

1. Pour calculer les termes \( u_{1} \) et \( u_{2} \), nous utilisons la définition de la suite. - Pour \( n = 0 \) : \[ u_{1} = \frac{3 u_{0}}{3 + 2 u_{0}} = \frac{3 \times 1}{3 + 2 \times 1} = \frac{3}{5} \] - Pour \( n = 1 \) : \[ u_{2} = \frac{3 u_{1}}{3 + 2 u_{1}} = \frac{3 \times \frac{3}{5}}{3 + 2 \times \frac{3}{5}} = \frac{\frac{9}{5}}{3 + \frac{6}{5}} = \frac{\frac{9}{5}}{\frac{21}{5}} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7} \] Ainsi, nous avons \( u_{1} = \frac{3}{5} \) et \( u_{2} = \frac{3}{7} \). 2. La suite \( (u_{n}) \) n'est pas arithmétique car la différence \( u_{n+1} - u_{n} \) n'est pas constante. Pour vérifier si elle est géométrique, on examine le rapport \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \) ; il faut vérifier s'il est constant. Pour les premiers termes \( u_{0}, u_{1}, u_{2} \) : \[ \frac{u_{1}}{u_{0}} = \frac{\frac{3}{5}}{1} = \frac{3}{5}, \quad \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{\frac{3}{7}}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{7} \] Comme ces rapports ne sont pas constants, la suite n'est pas géométrique non plus. 3. Pour montrer par récurrence que \( u_{n} > 0 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \): - **Initialisation** : Pour \( n = 0 \), \( u_{0} = 1 > 0 \). - **Hérédité** : Supposons que \( u_{k} > 0 \) pour un certain \( k \). Alors, en utilisant la relation : \[ u_{k+1} = \frac{3 u_{k}}{3 + 2 u_{k}} > 0 \text{ puisque } 3 + 2 u_{k} > 0. \] Donc, par récurrence, nous avons \( u_{n} > 0 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). 4. Pour étudier la monotonie de \( u_{n} \), nous devons examiner le signe de \( u_{n+1} - u_{n} \). Calculons : \[ u_{n+1} - u_{n} = \frac{3 u_{n}}{3 + 2 u_{n}} - u_{n} = u_{n} \left( \frac{3}{3 + 2 u_{n}} - 1 \right) = u_{n} \left( \frac{3 - (3 + 2 u_{n})}{3 + 2 u_{n}} \right) = u_{n} \left( \frac{-2 u_{n}}{3 + 2 u_{n}} \right) \] Puisque \( u_{n} > 0 \), il s'ensuit que \( u_{n+1} < u_{n} \). Ainsi, \( (u_{n}) \) est décroissante. 5. a. Calculons \( v_{0}, v_{1}, \) et \( v_{2} \): \[ v_{0} = 1 + \frac{3}{u_{0}} = 1 + 3 = 4, \] \[ v_{1} = 1 + \frac{3}{u_{1}} = 1 + \frac{3}{\frac{3}{5}} = 1 + 5 = 6, \] \[ v_{2} = 1 + \frac{3}{u_{2}} = 1 + \frac{3}{\frac{3}{7}} = 1 + 7 = 8. \] b. Calculons \( V_{n+1}