Exercice 1 Soient \( X \sim \mathcal{N}(0,1) \) et \( Z \) une variable aléatoire indépendante à \( X \) telle que \[ \mathbb{P}(Z=-1)=\mathbb{P}(Z=1)=1 / 2 \] Soit la variable aléatoire \( Y=Z X \). 1. Montrer que \( Y \sim \mathcal{N}(0,1) \) 2. Calculer la matrice de covariance du couple aléatoire \( U=(X, Y) \) 3. Montrer que \( U \) n'est pas gaussien

**Exercice 1** Soient \( X \sim \mathcal{N}(0,1) \) et \( Z \) une variable aléatoire indépendante à \( X \) telle que \[ \mathbb{P}(Z=-1)=\mathbb{P}(Z=1)=\frac{1}{2} \] Considérons la variable aléatoire \( Y = Z X \). --- ### 1. Montrer que \( Y \sim \mathcal{N}(0,1) \) **Démonstration :** Puisque \( Z \) prend les valeurs \( -1 \) et \( 1 \) avec probabilité égale et que \( Z \) est indépendant de \( X \), la variable \( Y = Z X \) est symétrique autour de zéro. Calculons l'espérance et la variance de \( Y \) : - **Espérance de \( Y \) :** \[ \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[Z X] = \mathbb{E}[Z] \mathbb{E}[X] = 0 \times 0 = 0 \] (car \( \mathbb{E}[Z] = \frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2}(1) = 0 \) et \( \mathbb{E}[X] = 0 \)) - **Variance de \( Y \) :** \[ \text{Var}(Y) = \mathbb{E}[Y^2] - (\mathbb{E}[Y])^2 = \mathbb{E}[Y^2] = \mathbb{E}[Z^2 X^2] = \mathbb{E}[Z^2] \mathbb{E}[X^2] \] \[ \mathbb{E}[Z^2] = \frac{1}{2}(-1)^2 + \frac{1}{2}(1)^2 = 1 \] \[ \mathbb{E}[X^2] = \text{Var}(X) + (\mathbb{E}[X])^2 = 1 + 0 = 1 \] Donc, \[ \text{Var}(Y) = 1 \times 1 = 1 \] Enfin, comme \( Y \) est une transformation linéaire d'une variable normale \( X \) par une variable aléatoire indépendante \( Z \) prenant des valeurs \( \pm 1 \), la distribution de \( Y \) est également normale avec les mêmes paramètres que \( X \). **Conclusion :** \[ Y \sim \mathcal{N}(0,1) \] --- ### 2. Calculer la matrice de covariance du couple aléatoire \( U = (X, Y) \) **Calcul :** La matrice de covariance de \( U = (X, Y) \) est donnée par : \[ \text{Cov}(U) = \begin{pmatrix} \text{Var}(X) & \text{Cov}(X,Y) \\ \text{Cov}(Y,X) & \text{Var}(Y) \end{pmatrix} \] Nous avons déjà déterminé que : \[ \text{Var}(X) = 1 \quad \text{et} \quad \text{Var}(Y) = 1 \] Calculons maintenant \( \text{Cov}(X,Y) \) : \[ \text{Cov}(X,Y) = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y] \] \[ \mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X \cdot Z X] = \mathbb{E}[Z] \mathbb{E}[X^2] = 0 \times 1 = 0 \] \[ \text{Cov}(X,Y) = 0 - 0 \times 0 = 0 \] Donc, la matrice de covariance est : \[ \text{Cov}(U) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] --- ### 3. Montrer que \( U \) n'est pas gaussien **Démonstration :** Pour que le couple aléatoire \( U = (X, Y) \) soit gaussien, toute combinaison linéaire de \( X \) et \( Y \) devrait également être une variable normale. Cependant, observons la nature de \( Y \) en fonction de \( X \) et \( Z \) : - \( Y = Z X \), où \( Z \) est une variable aléatoire discrète prenant les valeurs \( -1 \) et \( 1 \) avec probabilité \( \frac{1}{2} \) chacune. - Même si \( Y \) marginalement suit une distribution normale, la relation entre \( X \) et \( Y \) dépend de \( Z \), ce qui introduit une dépendance non linéaire. Considérons la densité jointe de \( U \) : \[ f_{U}(x,y) = \frac{1}{2} f_{X,Y|Z=1}(x,y) + \frac{1}{2} f_{X,Y|Z=-1}(x,y) \] \[ = \frac{1}{2} f_{X}(x) \delta(y - x) + \frac{1}{2} f_{X}(x) \delta(y + x) \] où \( \delta \) est la fonction delta de Dirac. Cette densité n'est pas celle d'une distribution normale multivariée, car elle est la somme de deux distributions concentrées sur des droites \( y = x \) et \( y = -x \), ce qui n'est pas une forme gaussienne. **Conclusion :** Le couple aléatoire \( U = (X, Y) \) n'est pas gaussien.