Hallar el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado \( \begin{array}{llll}\text { 3) } f(x)=\left(x^{2}+2 x\right) e^{x} \text { en }[0,3] & \text { 4) } f(x)=\frac{20 \sqrt{x^{2}-9}}{x} \text { en }[3,5] & \text { 5) } f(x)=\frac{6 x^{2}+17 x+14}{(x+1)^{2}(x+2)} \text { en }[0,4\end{array} \)

Para encontrar el **valor promedio** de una función \( f(x) \) en un intervalo \([a, b]\), utilizamos la siguiente fórmula: \[ \text{Valor Promedio} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] A continuación, resolvemos cada uno de los problemas planteados: --- ## **3) \( f(x) = (x^2 + 2x) e^x \) en \([0, 3]\)** ### **Paso 1: Aplicar la fórmula del valor promedio** \[ \text{Valor Promedio} = \frac{1}{3 - 0} \int_{0}^{3} (x^2 + 2x) e^x \, dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} (x^2 + 2x) e^x \, dx \] ### **Paso 2: Resolver la integral** Descomponemos la integral: \[ \int (x^2 + 2x) e^x \, dx = \int x^2 e^x \, dx + 2 \int x e^x \, dx \] #### **Integral de \( x^2 e^x \):** Aplicamos integración por partes dos veces. 1. **Primera integración por partes:** \[ u = x^2 \quad \Rightarrow \quad du = 2x \, dx \] \[ dv = e^x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = e^x \] \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx \] 2. **Segunda integración por partes para \( \int 2x e^x \, dx \):** \[ u = 2x \quad \Rightarrow \quad du = 2 \, dx \] \[ dv = e^x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = e^x \] \[ \int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x e^x - 2 e^x \] Entonces, \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x \] #### **Integral de \( 2x e^x \):** Ya la hemos calculado: \[ 2 \int x e^x \, dx = 2(x e^x - e^x) = 2x e^x - 2 e^x \] #### **Sumando las integrales:** \[ \int (x^2 + 2x) e^x \, dx = (x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x) + (2x e^x - 2 e^x) = x^2 e^x \] ### **Paso 3: Evaluar la integral definida** \[ \int_{0}^{3} (x^2 + 2x) e^x \, dx = \left[ x^2 e^x \right]_0^3 = 3^2 e^3 - 0^2 e^0 = 9 e^3 \] ### **Paso 4: Calcular el valor promedio** \[ \text{Valor Promedio} = \frac{1}{3} \times 9 e^3 = 3 e^3 \approx 3 \times 20.0855 \approx 60.2565 \] **Resultado:** \[ \boxed{3 e^3 \approx 60.2565} \] --- ## **4) \( f(x) = \frac{20 \sqrt{x^2 - 9}}{x} \) en \([3, 5]\)** ### **Paso 1: Aplicar la fórmula del valor promedio** \[ \text{Valor Promedio} = \frac{1}{5 - 3} \int_{3}^{5} \frac{20 \sqrt{x^2 - 9}}{x} \, dx = \frac{20}{2} \int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x} \, dx = 10 \int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x} \, dx \] ### **Paso 2: Resolver la integral** Simplificamos la expresión integrando: \[ \int \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x} \, dx \] Aplicamos sustitución trigonométrica: Sea \( x = 3 \sec \theta \), entonces \( dx = 3 \sec \theta \tan \theta \, d\theta \) \[ \sqrt{x^2 - 9} = \sqrt{9 \sec^2 \theta - 9} = 3 \tan \theta \] Reemplazando en la integral: \[ \int \frac{3 \tan \theta}{3 \sec \theta} \times 3 \sec \theta \tan \theta \, d\theta = \int 3 \tan^2 \theta \, d\theta \] Sabemos que \( \tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 \), entonces: \[ 3 \int (\sec^2 \theta - 1) \, d\theta = 3 (\tan \theta - \theta) + C \] Volviendo a la variable original \( x \): \[ \tan \theta = \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{3}, \quad \theta = \sec^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) \] Por lo tanto, \[ \int \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x} \, dx = 3 \cdot \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{3} - 3 \sec^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C = \sqrt{x^2 - 9} - 3 \sec^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C \] ### **Paso 3: Evaluar la integral definida** \[ \int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x} \, dx = \left[ \sqrt{x^2 - 9} - 3 \sec^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) \right]_3^5 \] Evaluamos en \( x = 5 \): \[ \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \] \[ \sec^{-1}\left(\frac{5}{3}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \arccos\left(\frac{3}{5}\right) \approx 0.9273 \text{ rad} \] Evaluamos en \( x = 3 \): \[ \sqrt{9 - 9} = 0 \] \[ \sec^{-1}\left(1\right) = 0 \] Entonces, \[ \int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x} \, dx = \left(4 - 3 \times 0.9273\right) - (0 - 0) = 4 - 2.7819 = 1.2181 \] ### **Paso 4: Calcular el valor promedio** \[ \text{Valor Promedio} = 10 \times 1.2181 \approx 12.181 \] **Resultado:** \[ \boxed{12.181} \] --- ## **5) \( f(x) = \frac{6x^2 + 17x + 14}{(x+1)^2 (x+2)} \) en \([0, 4]\)** ### **Paso 1: Aplicar la fórmula del valor promedio** \[ \text{Valor Promedio} = \frac{1}{4 - 0} \int_{0}^{4} \frac{6x^2 + 17x + 14}{(x+1)^2 (x+2)} \, dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{4} \frac{6x^2 + 17x + 14}{(x+1)^2 (x+2)} \, dx \] ### **Paso 2: Descomposición en fracciones parciales** Descomponemos la función racional en fracciones simples: \[ \frac{6x^2 + 17x + 14}{(x+1)^2 (x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+2} \] Multiplicamos ambos lados por \((x+1)^2 (x+2)\): \[ 6x^2 + 17x + 14 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2 \] Expandimos y agrupamos términos: \[ 6x^2 + 17x + 14 = A(x^2 + 3x + 2) + B(x + 2) + C(x^2 + 2x +1) \] \[ 6x^2 + 17x + 14 = (A + C)x^2 + (3A + B + 2C)x + (2A + 2B + C) \] Igualando coeficientes: \[ \begin{cases} A + C = 6 \\ 3A + B + 2C = 17 \\ 2A + 2B + C = 14 \end{cases} \] Resolvemos el sistema de ecuaciones. **Primera ecuación:** \[ A + C = 6 \quad \Rightarrow \quad A = 6 - C \] **Sustituyendo en la segunda ecuación:** \[ 3(6 - C) + B + 2C = 17 \quad \Rightarrow \quad 18 - 3C + B + 2C = 17 \quad \Rightarrow \quad B - C = -1 \quad \Rightarrow \quad B = C -1 \] **Sustituyendo en la tercera ecuación:** \[ 2(6 - C) + 2(C -1) + C = 14 \quad \Rightarrow \quad 12 - 2C + 2C -2 + C = 14 \quad \Rightarrow \quad 10 + C = 14 \quad \Rightarrow \quad C = 4 \] Entonces, \[ A = 6 - 4 = 2 \] \[ B = 4 - 1 = 3 \] Por lo tanto, la descomposición es: \[ \frac{6x^2 + 17x + 14}{(x+1)^2 (x+2)} = \frac{2}{x+1} + \frac{3}{(x+1)^2} + \frac{4}{x+2} \] ### **Paso 3: Integrar cada término** \[ \int \frac{2}{x+1} \, dx = 2 \ln|x+1| \] \[ \int \frac{3}{(x+1)^2} \, dx = 3 \left( -\frac{1}{x+1} \right) \] \[ \int \frac{4}{x+2} \, dx = 4 \ln|x+2| \] Entonces, \[ \int \frac{6x^2 + 17x + 14}{(x+1)^2 (x+2)} \, dx = 2 \ln|x+1| - \frac{3}{x+1} + 4 \ln|x+2| + C \] ### **Paso 4: Evaluar la integral definida de 0 a 4** Calculamos: \[ \left[ 2 \ln(x+1) - \frac{3}{x+1} + 4 \ln(x+2) \right]_0^4 \] **En \( x = 4 \):** \[ 2 \ln(5) - \frac{3}{5} + 4 \ln(6) \] **En \( x = 0 \):** \[ 2 \ln(1) - \frac{3}{1} + 4 \ln(2) = 0 - 3 + 4 \ln 2 \] Entonces, \[ \int_{0}^{4} \frac{6x^2 + 17x + 14}{(x+1)^2 (x+2)} \, dx = \left(2 \ln 5 - \frac{3}{5} + 4 \ln 6\right) - \left(-3 + 4 \ln 2\right) \] \[ = 2 \ln 5 - \frac{3}{5} + 4 \ln 6 + 3 - 4 \ln 2 \] Simplificamos numéricamente: \[ \approx 2 \times 1.6094 - 0.6 + 4 \times 1.7918 + 3 - 4 \times 0.6931 \] \[ = 3.2188 - 0.6 + 7.1672 + 3 - 2.7724 \approx 9.0136 \] ### **Paso 5: Calcular el valor promedio** \[ \text{Valor Promedio} = \frac{1}{4} \times 9.0136 \approx 2.2534 \] **Resultado:** \[ \boxed{2.2534} \]