Esercizio 3. Si consideri la seguente sfera: \[ S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+2 y+4 z=3 \] (a) \( (4 \mathrm{pt}) \) Trovare raggio e centro della sfera \( S \) (b) \( (4 \mathrm{pt}) \) Costruire due piani paralleli tangenti alla sfera \( S \). (c) (4pt) Trovare un piano che individua sulla sfera una circonferenza di raggio massimo possibile.
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The Deep Dive
Per risolvere l'equazione della sfera data, iniziamo a riorganizzarla in forma standard. Possiamo riscrivere l'equazione \( S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+2 y+4 z=3 \) completando il quadrato per ciascuna variabile. Il centro della sfera verrà così determinato da \( \left(1, -1, -2\right) \) e il raggio sarà \( \sqrt{7} \). Ora, quando parliamo di piani tangenti, immaginiamo due piani paralleli che possono essere definiti a una distanza proporzionale al raggio. Un modo per trovarli consiste nel fissare \( z = -2 \pm \sqrt{7} \) che fornisce i valori di \( z \) per i piani tangenti. Un piano che individua una circonferenza di raggio massimo sulla sfera può essere ottenuto a una distanza dal centro equivalente al raggio stesso. Imponendo l'equazione \( z = -2 \), troviamo che questa è una sezione centrale della sfera, generando una circonferenza di raggio \( \sqrt{7} \) nel piano.