Question
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Esercizio 3. Si consideri la seguente sfera: \[ S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+2 y+4 z=3 \] (a) \( (4 \mathrm{pt}) \) Trovare raggio e centro della sfera \( S \) (b) \( (4 \mathrm{pt}) \) Costruire due piani paralleli tangenti alla sfera \( S \). (c) (4pt) Trovare un piano che individua sulla sfera una circonferenza di raggio massimo possibile.

Ask by Stuart Cummings. in Italy
Jan 20,2025

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Answer

Il centro della sfera \( S \) è \( C(1,\ -1,\ -2) \) e il suo raggio è \( \sqrt{3} \).

Solution

**Parte (a):** Per determinare il centro e il raggio della sfera \( S: x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y + 4z = 3 \), riscriviamo l'equazione nella forma standard della sfera: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2 \] Espandendo, otteniamo: \[ x^{2} - 2a x + a^{2} + y^{2} - 2b y + b^{2} + z^{2} - 2c z + c^{2} = r^{2} \] Confrontando con l'equazione data: \[ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y + 4z = 3 \] Possiamo identificare i termini: \[ -2a = -2 \quad \Rightarrow \quad a = 1 \] \[ -2b = 2 \quad \Rightarrow \quad b = -1 \] \[ -2c = 4 \quad \Rightarrow \quad c = -2 \] Quindi il centro della sfera è \( C(1, -1, -2) \). Per il raggio \( r \), utilizziamo la relazione: \[ r^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 3 = 1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 - 3 = 1 + 1 + 4 - 3 = 3 \] Pertanto, il raggio è \( r = \sqrt{3} \). **Risposta:** Il centro della sfera \( S \) è il punto \( C(1,\ -1,\ -2) \) e il suo raggio è \( \sqrt{3} \).

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The Deep Dive

Per risolvere l'equazione della sfera data, iniziamo a riorganizzarla in forma standard. Possiamo riscrivere l'equazione \( S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+2 y+4 z=3 \) completando il quadrato per ciascuna variabile. Il centro della sfera verrà così determinato da \( \left(1, -1, -2\right) \) e il raggio sarà \( \sqrt{7} \). Ora, quando parliamo di piani tangenti, immaginiamo due piani paralleli che possono essere definiti a una distanza proporzionale al raggio. Un modo per trovarli consiste nel fissare \( z = -2 \pm \sqrt{7} \) che fornisce i valori di \( z \) per i piani tangenti. Un piano che individua una circonferenza di raggio massimo sulla sfera può essere ottenuto a una distanza dal centro equivalente al raggio stesso. Imponendo l'equazione \( z = -2 \), troviamo che questa è una sezione centrale della sfera, generando una circonferenza di raggio \( \sqrt{7} \) nel piano.

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