Question
Esercizio 3. Si consideri la seguente sfera:
(a)
Trovare raggio e centro della sfera
(b)
Costruire due piani paralleli tangenti alla sfera
.
© (4pt) Trovare un piano che individua sulla sfera una circonferenza di raggio massimo
possibile.
(b)
© (4pt) Trovare un piano che individua sulla sfera una circonferenza di raggio massimo
possibile.
Ask by Stuart Cummings. in Italy
Jan 20,2025
Upstudy AI Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
Il centro della sfera
è
e il suo raggio è
.
Solution
Parte (a):
Per determinare il centro e il raggio della sfera
, riscriviamo l’equazione nella forma standard della sfera:
Espandendo, otteniamo:
Confrontando con l’equazione data:
Possiamo identificare i termini:
Quindi il centro della sfera è
.
Per il raggio
, utilizziamo la relazione:
Pertanto, il raggio è
.
Risposta:
Il centro della sfera è il punto
e il suo raggio è
.
Il centro della sfera
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The Deep Dive
Per risolvere l’equazione della sfera data, iniziamo a riorganizzarla in forma standard. Possiamo riscrivere l’equazione
completando il quadrato per ciascuna variabile. Il centro della sfera verrà così determinato da
e il raggio sarà
.
Ora, quando parliamo di piani tangenti, immaginiamo due piani paralleli che possono essere definiti a una distanza proporzionale al raggio. Un modo per trovarli consiste nel fissare
che fornisce i valori di
per i piani tangenti.
Un piano che individua una circonferenza di raggio massimo sulla sfera può essere ottenuto a una distanza dal centro equivalente al raggio stesso. Imponendo l’equazione
, troviamo che questa è una sezione centrale della sfera, generando una circonferenza di raggio
nel piano.