\( f ( x ) = \underset { x } { x } \cdot \exp ( \frac { 4 x + 2 } { x ^ { 2 } + 2 } ) \)

Per analizzare la funzione \( f(x) = x \cdot \exp\left(\frac{4x + 2}{x^2 + 2}\right) \), possiamo esaminare le sue caratteristiche, come il dominio, la continuità e i punti critici. Procediamo passo dopo passo. ### 1. Dominio della funzione Il dominio di \( f(x) \) è determinato dai valori di \( x \) per cui l'espressione è definita. Poiché \( \exp(x) \) è definita per tutti i numeri reali e \( x \) è definito per tutti i numeri reali, il dominio di \( f(x) \) è: \[ D_f = \mathbb{R} \] ### 2. Continuità La funzione è continua su tutto il suo dominio, poiché è il prodotto di funzioni continue. ### 3. Derivata della funzione Per trovare i punti critici, calcoliamo la derivata \( f'(x) \). Utilizzeremo la regola del prodotto e la regola della catena. La derivata di \( f(x) \) è data da: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left[x \cdot \exp\left(\frac{4x + 2}{x^2 + 2}\right)\right] \] Utilizziamo la regola del prodotto: \[ f'(x) = x' \cdot g(x) + x \cdot g'(x) \] dove \( g(x) = \exp\left(\frac{4x + 2}{x^2 + 2}\right) \) e \( g'(x) \) è la derivata di \( g(x) \). Calcoliamo \( g'(x) \) utilizzando la regola della catena: \[ g'(x) = \exp\left(\frac{4x + 2}{x^2 + 2}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{4x + 2}{x^2 + 2}\right) \] Ora calcoliamo la derivata di \( \frac{4x + 2}{x^2 + 2} \) usando la regola del quoziente: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{4x + 2}{x^2 + 2}\right) = \frac{(4)(x^2 + 2) - (4x + 2)(2x)}{(x^2 + 2)^2} \] Procediamo a calcolare questa derivata e poi sostituiamo per trovare \( f'(x) \). ### 4. Calcolo della derivata Calcoliamo \( g'(x) \) e quindi \( f'(x) \). Iniziamo con il calcolo della derivata di \( \frac{4x + 2}{x^2 + 2} \): \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{4x + 2}{x^2 + 2}\right) = \frac{4(x^2 + 2) - (4x + 2)(2x)}{(x^2 + 2)^2} \] Calcoliamo il numeratore: \[ 4(x^2 + 2) - (4x + 2)(2x) = 4x^2 + 8 - (8x^2 + 4x) = -4x^2 + 4 \] Quindi, la derivata diventa: \[ \frac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 2)^2} \] Ora possiamo calcolare \( g'(x) \): \[ g'(x) = \exp\left(\frac{4x + 2}{x^2 + 2}\right) \cdot \frac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 2)^2} \] Infine, sostituiamo \( g'(x) \) in \( f'(x) \): \[ f'(x) = \exp\left(\frac{4x + 2}{x^2 + 2}\right) \cdot \frac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 2)^2} + x \cdot \exp\left(\frac{4x + 2}{x^2 + 2}\right) \cdot \frac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 2)^2} \] ### 5. Punti critici Per trovare i punti critici, poniamo \( f'(x) = 0 \) e risolviamo l'equazione. Procediamo a calcolare \( f'(x) = 0 \) e trovare i valori di \( x \) che soddisfano questa condizione. Se hai bisogno di ulteriori dettagli o di calcolare specificamente i punti critici, fammelo sapere!