$$ \int \cot \sqrt[ 3 ] { x ^ { 5 } } 3 \sqrt[ 3 ] { x ^ { 2 } } $$

Question

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Para resolver la integral $$ \int \cot \sqrt[3]{x^5} \cdot 3 \sqrt[3]{x^2} \, dx $$, podemos utilizar un cambio de variable.

Primero, definimos:

$$
u = \sqrt[3]{x^5}
$$

Luego, derivamos $$ u $$ con respecto a $$ x $$:

$$
du = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} \, dx = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} \, dx
$$

De aquí, despejamos $$ dx $$:

$$
dx = \frac{3}{5} x^{-\frac{2}{3}} \, du
$$

Ahora, necesitamos expresar $$ x $$ en términos de $$ u $$. Dado que $$ u = \sqrt[3]{x^5} $$, podemos despejar $$ x $$:

$$
x = u^{\frac{3}{5}}
$$

Sustituyendo $$ x $$ en la expresión de $$ dx $$:

$$
dx = \frac{3}{5} (u^{\frac{3}{5}})^{-\frac{2}{3}} \, du = \frac{3}{5} u^{-\frac{2}{5}} \, du
$$

Ahora, sustituimos $$ x $$ y $$ dx $$ en la integral original:

$$
\int \cot(u) \cdot 3 \sqrt[3]{(u^{\frac{3}{5}})^2} \cdot \frac{3}{5} u^{-\frac{2}{5}} \, du
$$

Calculamos $$ \sqrt[3]{(u^{\frac{3}{5}})^2} = \sqrt[3]{u^{\frac{6}{5}}} = u^{\frac{2}{5}} $$:

Entonces, la integral se convierte en:

$$
\int \cot(u) \cdot 3 u^{\frac{2}{5}} \cdot \frac{3}{5} u^{-\frac{2}{5}} \, du = \int \cot(u) \cdot \frac{9}{5} \, du
$$

Ahora, la integral se simplifica a:

$$
\frac{9}{5} \int \cot(u) \, du
$$

La integral de $$ \cot(u) $$ es $$ \ln|\sin(u)| + C $$, por lo que tenemos:

$$
\frac{9}{5} \ln|\sin(u)| + C
$$

Finalmente, sustituimos $$ u = \sqrt[3]{x^5} $$ de nuevo:

$$
\frac{9}{5} \ln|\sin(\sqrt[3]{x^5})| + C
$$

Por lo tanto, la solución de la integral es:

$$
\int \cot \sqrt[3]{x^5} \cdot 3 \sqrt[3]{x^2} \, dx = \frac{9}{5} \ln|\sin(\sqrt[3]{x^5})| + C
$$
La solución de la integral es $$ \frac{9}{5} \ln|\sin(\sqrt[3]{x^5})| + C $$.

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