Question
Наїдите точку минимума функции \( y=x^{3}-12 x^{2}+64+17 \)
Ask by Chan Brewer. in Russia
Jan 12,2025
Real Tutor Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
Точка минимума функции \( y = x^{3} - 12x^{2} + 81 \) находится в точке \( (8, -175) \).
Solution
Чтобы найти точку минимума функции \( y = x^{3} - 12x^{2} + 81 \), выполните следующие шаги:
1. **Найдите первую производную функции:**
\[
y' = \frac{dy}{dx} = 3x^{2} - 24x
\]
2. **Найдите критические точки, приравняв первую производную к нулю:**
\[
3x^{2} - 24x = 0 \\
3x(x - 8) = 0 \\
\]
Отсюда получаем:
\[
x = 0 \quad \text{и} \quad x = 8
\]
3. **Определите характер каждой критической точки, используя вторую производную:**
Найдём вторую производную:
\[
y'' = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6x - 24
\]
- Для \( x = 0 \):
\[
y''(0) = 6(0) - 24 = -24 \quad (\text{Отрицательное значение, значит, локальный максимум})
\]
- Для \( x = 8 \):
\[
y''(8) = 6(8) - 24 = 48 - 24 = 24 \quad (\text{Положительное значение, значит, локальный минимум})
\]
4. **Найдите координату \( y \) для точки минимума при \( x = 8 \):**
\[
y = (8)^{3} - 12(8)^{2} + 81 = 512 - 768 + 81 = -175
\]
**Таким образом, точка минимума функции:**
\[
(8,\ -175)
\]
Reviewed and approved by the UpStudy tutoring team
Like
error msg
Explain 
Simplify this solution Mind Expander
Для нахождения точки минимума функции \( y = x^{3} - 12x^{2} + 64 + 17 \) сначала найдем её производную. Производная функции равна \( y' = 3x^{2} - 24x \). Установив её равной нулю, получаем уравнение \( 3x(x - 8) = 0 \), что дает два корня: \( x = 0 \) и \( x = 8 \). Чтобы определить, где находится минимум, найдем вторую производную: \( y'' = 6x - 24 \). Подставив \( x = 8 \), получаем \( y''(8) = 24 > 0 \), значит в \( x = 8 \) находится точка минимума. Подставив это значение в исходную функцию, получаем \( y(8) = 8^3 - 12 \cdot 8^2 + 81 = 1 \). Итак, точка минимума: \( (8, 1) \).
