14. $$ \left|\begin{array}{rrrr}0 & 2 & 5 & 4 \ 1 & 0 & -1 & 3 \ 0 & 0 & 0 & -1 \ 2 & 3 & 5 & 0\end{array} ight| $$

Question

14. $$ \left|\begin{array}{rrrr}0 & 2 & 5 & 4 \ 1 & 0 & -1 & 3 \ 0 & 0 & 0 & -1 \ 2 & 3 & 5 & 0\end{array}ight| $$

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Para calcular el determinante de la matriz $$ A = \left|\begin{array}{rrrr}0 & 2 & 5 & 4 \ 1 & 0 & -1 & 3 \ 0 & 0 & 0 & -1 \ 2 & 3 & 5 & 0\end{array}\right| $$, podemos usar la regla de Sarrus o la expansión por cofactores. En este caso, es más sencillo usar la expansión por cofactores a lo largo de la primera fila.

La matriz es:

$$
A = \begin{pmatrix}
0 & 2 & 5 & 4 \
1 & 0 & -1 & 3 \
0 & 0 & 0 & -1 \
2 & 3 & 5 & 0
\end{pmatrix}
$$

La expansión por cofactores a lo largo de la primera fila es:

$$
\text{det}(A) = 0 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + 5 \cdot C_{13} + 4 \cdot C_{14}
$$

Donde $$ C_{ij} $$ es el cofactor de la entrada $$ a_{ij} $$. Como el primer término es cero, solo necesitamos calcular los otros tres cofactores.

1. **Cofactor $$ C_{12} $$**:

$$
C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \text{det}\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \
0 & 0 & -1 \
2 & 5 & 0
\end{pmatrix}
$$

Calculamos el determinante de la submatriz:

$$
\text{det}\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \
0 & 0 & -1 \
2 & 5 & 0
\end{pmatrix} = 1 \cdot \text{det}\begin{pmatrix}
0 & -1 \
5 & 0
\end{pmatrix} = 1 \cdot (0 \cdot 0 - (-1) \cdot 5) = 5
$$

Por lo tanto, $$ C_{12} = -5 $$.

2. **Cofactor $$ C_{13} $$**:

$$
C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \text{det}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 \
0 & 0 & -1 \
2 & 3 & 0
\end{pmatrix}
$$

Calculamos el determinante de la submatriz:

$$
\text{det}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 \
0 & 0 & -1 \
2 & 3 & 0
\end{pmatrix} = 1 \cdot \text{det}\begin{pmatrix}
0 & -1 \
3 & 0
\end{pmatrix} = 1 \cdot (0 \cdot 0 - (-1) \cdot 3) = 3
$$

Por lo tanto, $$ C_{13} = 3 $$.

3. **Cofactor $$ C_{14} $$**:

$$
C_{14} = (-1)^{1+4} \cdot \text{det}\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \
0 & 0 & 0 \
2 & 3 & 5
\end{pmatrix}
$$

El determinante de esta submatriz es cero porque hay una fila de ceros:

$$
\text{det}\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \
0 & 0 & 0 \
2 & 3 & 5
\end{pmatrix} = 0
$$

Por lo tanto, $$ C_{14} = 0 $$.

Ahora, sumamos los términos:

$$
\text{det}(A) = 0 + 2 \cdot (-5) + 5 \cdot 3 + 4 \cdot 0 = -10 + 15 + 0 = 5
$$

Finalmente, el determinante de la matriz es:

$$
\boxed{5}
$$
El determinante de la matriz es 5.

14. \( \left|\begin{array}{rrrr}0 & 2 & 5 & 4 \\ 1 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 5 & 0\end{array}\right| \)

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