TEST 2 - MATRICI Domanda 2 di 21 2) Sia data la matrice \[ A=\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{array}\right) \] Allora: \( A \) è invertibile. \( A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1 / 5 & 1 / 5 \\ 2 / 5 & -3 / 5\end{array}\right) \) \( A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1 / 5 & 2 / 5 \\ 1 / 5 & -3 / 5\end{array}\right) \) \( A \) non è invertibile.

Para determinar la invertibilidad de la matriz \( A \) y encontrar su inversa, procedemos de la siguiente manera: Dada la matriz: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \] 1. **Calcular el determinante de \( A \):** \[ \det(A) = (3)(-1) - (1)(2) = -3 - 2 = -5 \] Dado que el determinante de \( A \) es diferente de cero (\( \det(A) \neq 0 \)), la matriz \( A \) es invertible. 2. **Calcular la matriz inversa \( A^{-1} \):** Para una matriz \( 2 \times 2 \), la inversa se calcula como: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] Aplicando los valores de \( A \): \[ A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \end{pmatrix} \] **Conclusión:** - **\( A \) es invertible.** - **La inversa de \( A \) es:** \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \end{pmatrix} \] Por lo tanto, las afirmaciones correctas son: 1. \( A \) es invertible. 2. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \end{pmatrix} \)