1. Tentukanlah arti limit berikut. $$ \begin{array}{ll} ext { a. } \lim _{x ightarrow 3} 3 x+5 & ext { d. } \lim _{x ightarrow 0} \frac{x^{3}+2 x}{x^{2}+x} \ ext { b. } \lim _{x ightarrow-1}\left(x^{2}-2 x+1 ight) & ext { e. } \lim _{x ightarrow 2} \frac{x^{2}-3 x-18}{x^{2}+2 x-3} \ ext { c. } \lim _{x ightarrow 2} \sqrt{3 x-2} & ext { f. } \lim _{x ightarrow 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} \ ext { 2. Diberikan fungsi } f(x)=x+2 ext {, dengan daerah asal }\{x \mid x \in R\} ext {. Jika } x ext { mendekati } 2 ext {, tentukan } \ ext { nilai fungsi } f .\end{array} $$

Question

1. Tentukanlah arti limit berikut. $$ \begin{array}{ll}	ext { a. } \lim _{x ightarrow 3} 3 x+5 & 	ext { d. } \lim _{x ightarrow 0} \frac{x^{3}+2 x}{x^{2}+x} \ 	ext { b. } \lim _{x ightarrow-1}\left(x^{2}-2 x+1ight) & 	ext { e. } \lim _{x ightarrow 2} \frac{x^{2}-3 x-18}{x^{2}+2 x-3} \ 	ext { c. } \lim _{x ightarrow 2} \sqrt{3 x-2} & 	ext { f. } \lim _{x ightarrow 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} \ 	ext { 2. Diberikan fungsi } f(x)=x+2 	ext {, dengan daerah asal }\{x \mid x \in R\} 	ext {. Jika } x 	ext { mendekati } 2 	ext {, tentukan } \ 	ext { nilai fungsi } f .\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Tentu, berikut adalah solusi untuk soal-soal yang diberikan:

## 1. Menentukan Arti Limit

### a. $$\lim_{x \rightarrow 3} (3x + 5)$$

Fungsi ini adalah fungsi linear, sehingga limitnya dapat dihitung dengan langsung menggantikan nilai $$x$$ mendekati 3.

$$
\lim_{x \rightarrow 3} (3x + 5) = 3(3) + 5 = 9 + 5 = 14
$$

**Jawaban:** 14

---

### b. $$\lim_{x \rightarrow -1} (x^2 - 2x + 1)$$

Fungsi polinomial kontinual, sehingga kita dapat langsung menggantikan $$x = -1$$.

$$
\lim_{x \rightarrow -1} (x^2 - 2x + 1) = (-1)^2 - 2(-1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4
$$

**Jawaban:** 4

---

### c. $$\lim_{x \rightarrow 2} \sqrt{3x - 2}$$

Kita substitusikan $$x = 2$$ ke dalam fungsi:

$$
\lim_{x \rightarrow 2} \sqrt{3x - 2} = \sqrt{3(2) - 2} = \sqrt{6 - 2} = \sqrt{4} = 2
$$

**Jawaban:** 2

---

### d. $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3 + 2x}{x^2 + x}$$

Langsung substitusi $$x = 0$$ menghasilkan bentuk $$\frac{0}{0}$$, yang merupakan bentuk tak tentu. Oleh karena itu, kita perlu menyederhanakan fungsi terlebih dahulu.

Sederhanakan pembilang dan penyebut dengan faktor persekutuan:

$$
\frac{x^3 + 2x}{x^2 + x} = \frac{x(x^2 + 2)}{x(x + 1)} = \frac{x^2 + 2}{x + 1}
$$

Sekarang, hitung limitnya dengan $$x \rightarrow 0$$:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 + 2}{x + 1} = \frac{0 + 2}{0 + 1} = \frac{2}{1} = 2
$$

**Jawaban:** 2

---

### e. $$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 + 2x - 3}$$

Pertama, substitusi $$x = 2$$ untuk memastikan apakah terdapat bentuk tak tentu:

$$
\text{Pembilang} = 2^2 - 3(2) - 18 = 4 - 6 - 18 = -20 \
\text{Penyebut} = 2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5
$$

Karena penyebut tidak nol, kita dapat langsung menghitung:

$$
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 + 2x - 3} = \frac{-20}{5} = -4
$$

**Jawaban:** -4

---

### f. $$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}$$

Substitusi langsung $$x = 1$$ memberikan bentuk $$\frac{0}{0}$$, jadi kita perlu menyederhanakan atau menggunakan aturan l’Hôpital.

**Metode Penyederhanaan:**

Kalikan pembilang dan penyebut dengan $$\sqrt{x} + 1$$:

$$
\frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}{x - 1} = \sqrt{x} + 1
$$

Setelah penyederhanaan, kita dapat menghitung limitnya:

$$
\lim_{x \rightarrow 1} (\sqrt{x} + 1) = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2
$$

**Jawaban:** 2

---

## 2. Menentukan Nilai Fungsi $$f(x) = x + 2$$ saat $$x$$ mendekati 2

Fungsi $$f(x) = x + 2$$ adalah fungsi linear dan kontinu di seluruh domainnya. Oleh karena itu, nilai limitnya sama dengan nilai fungsi di titik tersebut.

$$
\lim_{x \rightarrow 2} f(x) = f(2) = 2 + 2 = 4
$$

**Jawaban:** 4
1. **Arti Limit:** - a. 14 - b. 4 - c. 2 - d. 2 - e. -4 - f. 2 2. **Nilai Fungsi $$f(x) = x + 2$$ saat $$x$$ mendekati 2:** 4

Tentukanlah arti limit berikut.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Calculus Questions