32 Un faro de 20 m de altura está colocado sobre un promon- torio. Un barco ve el promontorio bajo un ángulo de \( 30^{\circ} \), y el faro, bajo un ángulo de \( 40^{\circ} \). Calcula la altura del pro- montorio.

Para resolver el problema, primero necesitamos establecer algunas relaciones usando la trigonometría. Llamemos \( h \) a la altura del promontorio. Desde la posición del barco, podemos formar dos triángulos rectángulos. En el triángulo asociado al promontorio, se puede utilizar la tangente del ángulo de \(30^{\circ}\): \[ \tan(30^{\circ}) = \frac{h}{d} \] donde \( d \) es la distancia horizontal desde el barco hasta el promontorio. Para el faro de \(20 m\) de altura: \[ \tan(40^{\circ}) = \frac{h + 20}{d} \] Ahora, tenemos dos ecuaciones con una incógnita (\( h \)). Resolviendo la primera ecuación: \[ h = d \tan(30^{\circ}) = d \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{d}{\sqrt{3}} \] Sustituyendo esto en la segunda ecuación: \[ \tan(40^{\circ}) = \frac{\frac{d}{\sqrt{3}} + 20}{d} \] Multiplicamos ambos lados por \( d \): \[ d \cdot \tan(40^{\circ}) = \frac{d}{\sqrt{3}} + 20 \] Reorganizando, obtenemos: \[ d \tan(40^{\circ}) - \frac{d}{\sqrt{3}} = 20 \] Factorizando \( d \): \[ d \left(\tan(40^{\circ}) - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 20 \] Finalmente, despejamos \( d \): \[ d = \frac{20}{\tan(40^{\circ}) - \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Ahora sustituyendo \( d \) en la ecuación de \( h \): \[ h = \frac{20}{\tan(40^{\circ}) - \frac{1}{\sqrt{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \] Resolviendo numéricamente, puedes encontrar el valor de \( h \) correspondiente a la altura del promontorio.