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Answer
कोणांक \( 2 \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \) है।
Solution
दिए गए जटिल संख्या \( \frac{a + i b}{a - i b} \) का कोणांक (अर्गुमेंट) ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
1. **जटिल संख्या को सरल बनाएं:**
\[
\frac{a + i b}{a - i b} = \frac{(a + i b)(a + i b)}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 - b^2 + 2i a b}{a^2 + b^2}
\]
2. **अर्गुमेंट निकालें:**
किसी भी जटिल संख्या \( z = x + i y \) का अर्गुमेंट \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \) होता है। यहाँ:
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2 - b^2}\right)
\]
लेकिन इसे और सरल रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि \( \theta_1 = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \) हो, तो:
\[
\theta = 2 \theta_1 = 2 \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]
इस प्रकार, \( \frac{a + i b}{a - i b} \) का कोणांक है:
\[
2 \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]
**समाप्त।**
### संक्षेप में:
\[
\text{कोणांक} = 2\, \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]
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चलिए, पहले \( z = \frac{a + ib}{a - ib} \) के कोणांक को ज्ञात करते हैं। इस समीकरण को देखते हुए हम इसे \( z = \frac{(a + ib)(a + ib)}{(a - ib)(a + ib)} \) के रूप में पुनः लिख सकते हैं। ध्यान दें कि निचले अंश में यह एक सामान्य समीकरण बन जाएगा। इससे हमें मिलेगा: \[ z = \frac{(a^2 + 2abi - b^2)}{a^2 + b^2} \] अब, इसे \( z = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} + i\frac{2ab}{a^2 + b^2} \) के रूप में विभाजित कर लिया जाता है। अब, \( z \) का कोणांक ज्ञात करने के लिए हम इसकी अंश और विवरण को \( \tan^{-1} \) के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2 - b^2}\right) \] इस प्रकार, \( \frac{a + ib}{a - ib} \) का कोणांक \( \tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2 - b^2}\right) \) है।
