Comprosar las malrices: $$ A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \ 3 & 0\end{array} ight) $$ y $$ B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \ 1 & 3\end{array} ight) $$ que: a) $$ (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} $$ b) $$ (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} $$ c) $$ (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} $$

Question

Comprosar las malrices: $$ A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \ 3 & 0\end{array}ight) $$ y $$ B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \ 1 & 3\end{array}ight) $$ que: a) $$ (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} $$ b) $$ (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} $$ c) $$ (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Claro, vamos a comprobar cada una de las propiedades indicadas utilizando las matrices $$ A $$ y $$ B $$ dadas:

$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 3 \end{pmatrix}
$$

### a) Verificar que $$(A+B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}$$

**Paso 1: Calcular $$ A + B $$**

$$
A + B = \begin{pmatrix} 1+2 & 2+(-1) \ 3+1 & 0+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & 3 \end{pmatrix}
$$

**Paso 2: Calcular $$(A + B)^{2}$$**

$$
(A + B)^{2} = (A + B)(A + B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & 3 \end{pmatrix}
$$

$$
= \begin{pmatrix}
3 \cdot 3 + 1 \cdot 4 & 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \
4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 & 4 \cdot 1 + 3 \cdot 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 6 \ 24 & 13 \end{pmatrix}
$$

**Paso 3: Calcular $$ A^{2} $$, $$ AB $$ y $$ B^{2} $$**

- **$$ A^{2} = A \cdot A $$**

$$
A^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \
3 \cdot 1 + 0 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 0 \cdot 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 6 \end{pmatrix}
$$

- **$$ AB = A \cdot B $$**

$$
AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 \
3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \ 6 & -3 \end{pmatrix}
$$

- **$$ B^{2} = B \cdot B $$**

$$
B^{2} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 & 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 \
1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \ 5 & 8 \end{pmatrix}
$$

**Paso 4: Calcular $$ A^{2} + 2AB + B^{2} $$**

Primero, calculamos $$ 2AB $$:

$$
2AB = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 & 5 \ 6 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 10 \ 12 & -6 \end{pmatrix}
$$

Luego sumamos $$ A^{2} + 2AB + B^{2} $$:

$$
A^{2} + 2AB + B^{2} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 10 \ 12 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -5 \ 5 & 8 \end{pmatrix}
$$

$$
= \begin{pmatrix} 7+8+3 & 2+10-5 \ 3+12+5 & 6-6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 7 \ 20 & 8 \end{pmatrix}
$$

**Comparación:**

$$
(A + B)^{2} = \begin{pmatrix} 13 & 6 \ 24 & 13 \end{pmatrix} \neq A^{2} + 2AB + B^{2} = \begin{pmatrix} 18 & 7 \ 20 & 8 \end{pmatrix}
$$

Por lo tanto, la propiedad **a)** no se cumple para las matrices dadas.

---

### b) Verificar que $$(A-B)^{2} = A^{2} - 2AB + B^{2}$$

**Paso 1: Calcular $$ A - B $$**

$$
A - B = \begin{pmatrix} 1-2 & 2-(-1) \ 3-1 & 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \ 2 & -3 \end{pmatrix}
$$

**Paso 2: Calcular $$(A - B)^{2}$$**

$$
(A - B)^{2} = (A - B)(A - B) = \begin{pmatrix} -1 & 3 \ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \ 2 & -3 \end{pmatrix}
$$

$$
= \begin{pmatrix}
(-1)\cdot (-1) + 3 \cdot 2 & (-1)\cdot 3 + 3 \cdot (-3) \
2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2 & 2 \cdot 3 + (-3) \cdot (-3)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -12 \ -8 & 15 \end{pmatrix}
$$

**Paso 3: Calcular $$ A^{2} - 2AB + B^{2} $$**

Ya calculamos previamente:

$$
A^{2} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 6 \end{pmatrix}, \quad
2AB = \begin{pmatrix} 8 & 10 \ 12 & -6 \end{pmatrix}, \quad
B^{2} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \ 5 & 8 \end{pmatrix}
$$

Entonces:

$$
A^{2} - 2AB + B^{2} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & 10 \ 12 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -5 \ 5 & 8 \end{pmatrix}
$$

$$
= \begin{pmatrix} 7-8+3 & 2-10-5 \ 3-12+5 & 6-(-6)+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -13 \ -4 & 20 \end{pmatrix}
$$

**Comparación:**

$$
(A - B)^{2} = \begin{pmatrix} 7 & -12 \ -8 & 15 \end{pmatrix} \neq A^{2} - 2AB + B^{2} = \begin{pmatrix} 2 & -13 \ -4 & 20 \end{pmatrix}
$$

Por lo tanto, la propiedad **b)** tampoco se cumple para las matrices dadas.

---

### c) Verificar que $$(A+B)(A-B) = A^{2} - B^{2}$$

**Paso 1: Calcular $$ (A + B)(A - B) $$**

Ya tenemos:

$$
A + B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & 3 \end{pmatrix}, \quad
A - B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \ 2 & -3 \end{pmatrix}
$$

Entonces:

$$
(A + B)(A - B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \ 2 & -3 \end{pmatrix}
$$

$$
= \begin{pmatrix}
3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 & 3 \cdot 3 + 1 \cdot (-3) \
4 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 & 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-3)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 6 \ 2 & 3 \end{pmatrix}
$$

**Paso 2: Calcular $$ A^{2} - B^{2} $$**

Tenemos:

$$
A^{2} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 6 \end{pmatrix}, \quad
B^{2} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \ 5 & 8 \end{pmatrix}
$$

Entonces:

$$
A^{2} - B^{2} = \begin{pmatrix} 7-3 & 2-(-5) \ 3-5 & 6-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \ -2 & -2 \end{pmatrix}
$$

**Comparación:**

$$
(A + B)(A - B) = \begin{pmatrix} -1 & 6 \ 2 & 3 \end{pmatrix} \neq A^{2} - B^{2} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \ -2 & -2 \end{pmatrix}
$$

Por lo tanto, la propiedad **c)** no se cumple para las matrices dadas.

---

### **Conclusión**

Ninguna de las propiedades **a)**, **b)** y **c)** se cumple para las matrices $$ A $$ y $$ B $$ proporcionadas. Esto se debe a que, en general, las matrices no conmutan ($$ AB \neq BA $$), lo que hace que las propiedades similares a las de los números reales no siempre sean válidas para matrices.
Las propiedades **a)**, **b)** y **c)** no se cumplen para las matrices $$ A $$ y $$ B $$ dadas. Esto se debe a que las matrices no conmutan, lo que hace que las igualdades no sean válidas en este caso.

Comprosar las malrices: \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 0\end{array}\right) \) y \( B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right) \) que: a) \( (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} \) b) \( (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} \) c) \( (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} \)

Real Tutor Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Algebra Questions