15) Realizar el gráfico de la función: $$ \begin{array}{l}\text { a) } y=x^{2}-4 x+5 \ \text { b) } y=-x 2-4\end{array} $$

Question

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Para resolver este problema, primero analizaremos cada una de las funciones y luego procederemos a graficarlas.

### a) $$ y = x^2 - 4x + 5 $$

1. **Identificar el tipo de función:**
   - Esta es una función cuadrática, ya que tiene un término de segundo grado ($$x^2$$).

2. **Encontrar el vértice:**
   - La ecuación está en la forma $$y = ax^2 + bx + c$$, donde $$a = 1$$, $$b = -4$$, y $$c = 5$$.
   - El vértice de una función cuadrática se encuentra en $$(-b/2a, f(-b/2a))$$.
   - Calculamos el vértice:
     $$
     x_{\text{vértice}} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2
     $$
     $$
     y_{\text{vértice}} = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1
     $$
   - El vértice es $$(2, 1)$$.

3. **Determinar la dirección de la parábola:**
   - Como $$a = 1 > 0$$, la parábola se abre hacia arriba.

4. **Puntos de intersección con el eje x:**
   - Solucionamos $$x^2 - 4x + 5 = 0$$.
   - El discriminante es $$b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$$, lo que es menor que cero.
   - Por lo tanto, la función no tiene puntos de intersección con el eje x.

5. **Puntos de intersección con el eje y:**
   - Solucionamos $$x^2 - 4x + 5 = y$$.
   - Los puntos de intersección con el eje y son $$(0, 5)$$ y $$(4, 5)$$.

### b) $$ y = -x^2 - 4 $$

1. **Identificar el tipo de función:**
   - Esta es también una función cuadrática, ya que tiene un término de segundo grado ($$x^2$$).

2. **Encontrar el vértice:**
   - La ecuación está en la forma $$y = ax^2 + bx + c$$, donde $$a = -1$$, $$b = 0$$, y $$c = -4$$.
   - El vértice de una función cuadrática se encuentra en $$(-b/2a, f(-b/2a))$$.
   - Calculamos el vértice:
     $$
     x_{\text{vértice}} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0
     $$
     $$
     y_{\text{vértice}} = f(0) = -0^2 - 4 = -4
     $$
   - El vértice es $$(0, -4)$$.

3. **Determinar la dirección de la parábola:**
   - Como $$a = -1 < 0$$, la parábola se abre hacia abajo.

4. **Puntos de intersección con el eje x:**
   - Solucionamos $$-x^2 - 4 = 0$$.
   - El discriminante es $$b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-4) = 0 - 16 = -16$$, lo que es menor que cero.
   - Por lo tanto, la función no tiene puntos de intersección con el eje x.

5. **Puntos de intersección con el eje y:**
   - Solucionamos $$-x^2 - 4 = y$$.
   - Los puntos de intersección con el eje y son $$(0, -4)$$.

### Graficar las funciones

Para graficar estas funciones, puedes utilizar un software de gráficos o una calculadora gráfica. Aquí tienes una descripción general de cómo se verían:

- **Función a) $$ y = x^2 - 4x + 5 $$:**
  - Una parábola que se abre hacia arriba.
  - Vértice en $$(2, 1)$$.
  - Puntos de intersección con el eje y en $$(0, 5)$$ y $$(
Para la función $$ y = x^2 - 4x + 5 $$, el vértice es $$(2, 1)$$ y no tiene puntos de intersección con el eje x. Para la función $$ y = -x^2 - 4 $$, el vértice es $$(0, -4)$$ y también no tiene puntos de intersección con el eje x.

Realizar el gráfico de la función:

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