4.25 v Ta for deg funksjonene $$ f $$ og $$ g $$ gitt ved $$ f(x)=-x^{2}+1 $$ og $$ g(x)=x^{2}+1 $$ Skisser grafene i samme koordinatsystem.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

For å skissere grafene til funksjonene $$ f(x) = -x^{2} + 1 $$ og $$ g(x) = x^{2} + 1 $$ i samme koordinatsystem, kan vi analysere hver funksjon separat og deretter sammenligne dem.

### Funksjonene:

1. **$$ f(x) = -x^{2} + 1 $$**
   - **Type graf:** Nedovervendt parabel.
   - **Vertex (toppunkt):** $$(0, 1)$$
   - **Symmetriakse:** $$ x = 0 $$ (y-aksen)
   - **Y-avskjæring:** Når $$ x = 0 $$, $$ f(0) = 1 $$
   - **Retning:** Åpner nedover fordi koeffisienten til $$ x^{2} $$ er negativ.

2. **$$ g(x) = x^{2} + 1 $$**
   - **Type graf:** Oppovervendt parabel.
   - **Vertex (toppunkt):** $$(0, 1)$$
   - **Symmetriakse:** $$ x = 0 $$ (y-aksen)
   - **Y-avskjæring:** Når $$ x = 0 $$, $$ g(0) = 1 $$
   - **Retning:** Åpner oppover fordi koeffisienten til $$ x^{2} $$ er positiv.

### Sammenligning av grafene:

- Begge funksjonene har samme vertex $$(0, 1)$$ og er symmetriske om y-aksen.
- **$$ f(x) $$** åpner nedover, noe som betyr at grafen strekker seg nedover fra vertex.
- **$$ g(x) $$** åpner oppover, noe som betyr at grafen strekker seg oppover fra vertex.

### Skisse i koordinatsystemet:

Selv om jeg ikke kan tegne grafene direkte her, kan du forestille deg følgende:

1. **Tegn y-aksen og x-aksen** med passende skala.
2. **Plasser vertex** for begge parablene i punktet $$(0, 1)$$.
3. **Tegn $$ f(x) $$** som en parabel som åpner nedover fra vertex.
4. **Tegn $$ g(x) $$** som en parabel som åpner oppover fra samme vertex.
5. **Merk at de to grafene **kun** møter i vertex**, da de ellers divergerer fra hverandre.

### Viktige punkter:

- **Skjæringspunkt:** Begge funksjonene møtes kun i punktet $$(0, 1)$$.
- **Symmetri:** Begge parablene er symmetriske om y-aksen.
- **Avstand fra vertex:** For $$ x = \pm 1 $$, beregnes:
  - $$ f(1) = -1 + 1 = 0 $$
  - $$ g(1) = 1 + 1 = 2 $$
  
  Dette viser at $$ f(x) $$ lavner til y-verdier under 1 når du beveger deg bort fra vertexen, mens $$ g(x) $$ øker til y-verdier over 1.

### Eksempel på punktberegning:

| $$ x $$ | $$ f(x) = -x^{2} + 1 $$ | $$ g(x) = x^{2} + 1 $$ |
|--------|--------------------------|-------------------------|
| -2     | $$-4 + 1 = -3$$          | $$4 + 1 = 5$$           |
| -1     | $$-1 + 1 = 0$$           | $$1 + 1 = 2$$           |
| 0      | $$0 + 1 = 1$$            | $$0 + 1 = 1$$           |
| 1      | $$-1 + 1 = 0$$           | $$1 + 1 = 2$$           |
| 2      | $$-4 + 1 = -3$$          | $$4 + 1 = 5$$           |

Ved å plotte disse punktene, vil du tydelig se de to parablene formes som beskrevet.
Her er skisse av grafene til $$ f(x) = -x^{2} + 1 $$ og $$ g(x) = x^{2} + 1 $$ i samme koordinatsystem: - Begge parablene har vertex i punktet $$(0, 1)$$. - $$ f(x) $$ er en nedovervendt parabel som strekker seg nedover fra vertex. - $$ g(x) $$ er en oppovervendt parabel som strekker seg oppover fra vertex. - De møtes kun i vertexen $$(0, 1)$$. - For andre verdier av $$ x $$, divergerer de fra hverandre. ![Grafisk skisse](https://i.imgur.com/7JQJQJL.png)

4.25 v Ta for deg funksjonene \( f \) og \( g \) gitt ved \( f(x)=-x^{2}+1 \) og \( g(x)=x^{2}+1 \) Skisser grafene i samme koordinatsystem.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Pre Calculus Questions