¿Cuál de las siguientes funciones $$ f $$ tiene una discontinuidad removible en $$ a $$ ? Si la discontinuidad es removible, halle una función $$ g $$ que concuerde con $$ f $$ para $$ x
eq a $$ y sea continua en $$ a $$. (a) $$ f(x)=\frac{x^{4}-1}{x-1}, a=1 $$ (b) $$ f(x)=\frac{x^{3}-x^{2}-2 x}{x-2}, a=2 $$ (c) $$ f(x)=\llbracket \operatorname{sen} x rbracket, a=\pi $$ a. ayc b. ayb c. Solamente a. d. byc

Question

¿Cuál de las siguientes funciones $$ f $$ tiene una discontinuidad removible en $$ a $$ ? Si la discontinuidad es removible, halle una función $$ g $$ que concuerde con $$ f $$ para $$ x 
eq a $$ y sea continua en $$ a $$. (a) $$ f(x)=\frac{x^{4}-1}{x-1}, a=1 $$ (b) $$ f(x)=\frac{x^{3}-x^{2}-2 x}{x-2}, a=2 $$ (c) $$ f(x)=\llbracket \operatorname{sen} x rbracket, a=\pi $$ a. ayc b. ayb c. Solamente a. d. byc

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Para determinar cuáles de las funciones tienen una discontinuidad removible en el punto especificado, analizaremos cada caso:

### a) $$ f(x)=\frac{x^{4}-1}{x-1}, \ a=1 $$

- **Análisis:**
  - $$ f(1) $$ es indeterminado $$ \frac{0}{0} $$.
  - Factorizando el numerador: $$ x^{4} - 1 = (x-1)(x+1)(x^2+1) $$.
  - Simplificando: $$ f(x) = (x+1)(x^2+1) $$ para $$ x 
eq 1 $$.
  - El límite cuando $$ x $$ tiende a 1 es $$ (1+1)(1^2 +1) = 4 $$.
  
- **Conclusión:**
  - La discontinuidad es removible.
  - Definimos $$ g(1) = 4 $$ para que $$ g $$ sea continua en $$ x=1 $$.

### b) $$ f(x)=\frac{x^{3}-x^{2}-2x}{x-2}, \ a=2 $$

- **Análisis:**
  - $$ f(2) $$ es indeterminado $$ \frac{0}{0} $$.
  - Factorizando el numerador: $$ x^{3} -x^{2} -2x = x(x-2)(x+1) $$.
  - Simplificando: $$ f(x) = x(x+1) $$ para $$ x 
eq 2 $$.
  - El límite cuando $$ x $$ tiende a 2 es $$ 2 	imes 3 = 6 $$.
  
- **Conclusión:**
  - La discontinuidad es removible.
  - Definimos $$ g(2) = 6 $$ para que $$ g $$ sea continua en $$ x=2 $$.

### c) $$ f(x)=\lfloor \sin x floor, \ a=\pi $$

- **Análisis:**
  - $$ \sin(\pi) = 0 $$, por lo que $$ f(\pi) = \lfloor 0 floor = 0 $$.
  - Al aproximarse a $$ \pi $$ desde la izquierda, $$ \sin x $$ tiende a 0 desde valores negativos, así $$ f(x) $$ tiende a $$-1$$.
  - Al aproximarse desde la derecha, $$ \sin x $$ tiende a 0 desde valores positivos, así $$ f(x) $$ tiende a $$0$$.
  
- **Conclusión:**
  - Existe una discontinuidad de salto, la cual **no** es removible.

### Respuesta Final

Las funciones (a) y (b) tienen discontinuidades removibles en los puntos dados. Por lo tanto, la respuesta correcta es:

**b. ayb**
Las funciones (a) y (b) tienen discontinuidades removibles en los puntos especificados.

¿Cuál de las siguientes funciones tiene una discontinuidad
removible en ? Si la discontinuidad es removible, halle una
función que concuerde con para y sea continua en .
(a)
(b)
©
a. ayc
b. ayb
c. Solamente a.
d. byc

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¿Cuál de las siguientes funciones tiene una discontinuidad removible en ? Si la discontinuidad es removible, halle una función que concuerde con para y sea continua en . (a) (b) © a. ayc b. ayb c. Solamente a. d. byc