¿Cuál de las siguientes funciones \( f \) tiene una discontinuidad removible en \( a \) ? Si la discontinuidad es removible, halle una función \( g \) que concuerde con \( f \) para \( x \neq a \) y sea continua en \( a \). (a) \( f(x)=\frac{x^{4}-1}{x-1}, a=1 \) (b) \( f(x)=\frac{x^{3}-x^{2}-2 x}{x-2}, a=2 \) (c) \( f(x)=\llbracket \operatorname{sen} x \rrbracket, a=\pi \) a. ayc b. ayb c. Solamente a. d. byc

Examinemos cada opción para identificar la discontinuidad removible. En la opción (a) \( f(x) = \frac{x^{4}-1}{x-1} \), al factorizar \( x^4 - 1 \) obtenemos \( (x-1)(x^3+x^2+x+1) \). Al simplificar, resulta \( f(x) = x^3 + x^2 + x + 1 \) para \( x \neq 1 \). La función es continua al definir \( g(x) = x^3 + x^2 + x + 1 \), que se puede evaluar en \( a = 1 \). En la opción (b) \( f(x) = \frac{x^3 - x^2 - 2x}{x-2} \), al evaluar en \( x=2 \) se encuentra una indeterminación. Sin embargo, al factorizar y simplificar se descubre que también puede definirse una función continua. Por lo tanto, tanto para la opción (a) como para la opción (b) hay discontinuidades removibles. La respuesta correcta es (d) byc. Para continuar el tipo de problemas donde detectamos discontinuidades, puede ser útil conocer cómo se comportan las funciones algebraicas en límites. Siempre es bueno revisar el comportamiento cuando se acercan al valor de discontinuidad. Además, practicar con funciones a través de ejercicios de límites y continuidades ayudará a afianzar estos conceptos. Experimentar con diversas funciones es la mejor manera de aprender. ¡Diviértete explorando!