r) اوجد القيمة الدقيقة لـ \( 90^{\circ}<\theta<180^{\circ} \) ، \( \cos \theta=-\frac{1}{3} \) ، \( \sin 2 \theta \) إذاكان

لحساب القيمة الدقيقة لـ \( \sin 2\theta \) عندما يكون \( 90^{\circ} < \theta < 180^{\circ} \) و \( \cos \theta = -\frac{1}{3} \)، نتبع الخطوات التالية: 1. **حساب \( \sin \theta \):** نستخدم هوية فيثاغورس: \[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \] \[ \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] \[ \sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] (حيث أن \( \sin \theta \) إيجابي في الربع الثاني) 2. **حساب \( \sin 2\theta \):** نستخدم صيغة الزاوية المزدوجة: \[ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \] \[ \sin 2\theta = 2 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{4\sqrt{2}}{9} \] وبالتالي، القيمة الدقيقة لـ \( \sin 2\theta \) هي: \[ \sin 2\theta = -\frac{4\sqrt{2}}{9} \]