3) \( y=\operatorname{sen} 3 x+\cos 2 x \)

Para la función \( y = \sen(3x) + \cos(2x) \), analizaremos sus propiedades clave, incluyendo período, amplitud, y comportamiento general. ### 1. **Identificar las componentes de la función** La función está compuesta por dos términos trigonométricos: - \( \sen(3x) \): Una función seno con frecuencia angular \( 3 \). - \( \cos(2x) \): Una función coseno con frecuencia angular \( 2 \). ### 2. **Determinar los períodos de cada componente** El período \( T \) de una función trigonométrica de la forma \( \sen(kx) \) o \( \cos(kx) \) se calcula usando la fórmula: \[ T = \frac{2\pi}{|k|} \] - Para \( \sen(3x) \): \[ T_1 = \frac{2\pi}{3} \] - Para \( \cos(2x) \): \[ T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi \] ### 3. **Determinar el período de la función completa** El período de la función completa será el mínimo común múltiplo (MCM) de los períodos individuales \( T_1 \) y \( T_2 \). Calculamos el MCM de \( \frac{2\pi}{3} \) y \( \pi \): \[ \text{MCM}\left(\frac{2\pi}{3}, \pi\right) = 2\pi \] Por lo tanto, el período de \( y = \sen(3x) + \cos(2x) \) es \( 2\pi \). ### 4. **Amplitud de la función** Dado que las funciones seno y coseno tienen amplitud máxima de 1, la amplitud de la función combinada oscilará entre la suma y la resta de las amplitudes individuales: - Amplitud máxima posible: \( 1 + 1 = 2 \) - Amplitud mínima posible: \( |1 - 1| = 0 \) Por lo tanto, la función \( y = \sen(3x) + \cos(2x) \) oscilará entre -2 y 2. ### 5. **Gráfica de la función** A continuación, se presenta una representación gráfica aproximada de la función en el intervalo \( [0, 2\pi] \):  *Nota: Inserte una gráfica precisa utilizando software de graficación si es necesario.* ### 6. **Puntos de intersección con el eje Y** Para encontrar la intersección con el eje Y (\( x = 0 \)): \[ y(0) = \sen(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1 \] Por lo tanto, la función cruza el eje Y en el punto \( (0, 1) \). ### 7. **Derivada de la función** Calculemos la derivada \( y' \) para analizar la tasa de cambio de la función: \[ y = \sen(3x) + \cos(2x) \] Derivando término a término: \[ y' = 3\cos(3x) - 2\sen(2x) \] ### 8. **Conclusión** La función \( y = \sen(3x) + \cos(2x) \) es una combinación de dos ondas trigonométricas con diferentes frecuencias. Su período es \( 2\pi \), oscila entre -2 y 2, y su comportamiento puede analizarse mediante su derivada para entender mejor sus puntos críticos y cambios de tendencia.