2) Sea la transformación lineal \( T: \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{R}^{3} / M_{B B^{\prime}}(T)=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & -4\end{array}\right) \) con \( B=\{u, v, w\} \subset V \) una base de \( \mathbb{V} \) y \( B^{\prime}=\{(1,1,-1),(2,-1,0),(1,0,0)\} \) base de \( \mathbb{R}^{3} \) 2.1) Calcule \( T(u-v) \). 2.2) Encuentre una expresión analítica de la imagen de \( T \).

Para calcular \( T(u-v) \), primero necesitamos entender cómo actúa la matriz \( M_{B B^{\prime}}(T) \) sobre combinaciones lineales de la base \( B \). 2.1) Dado que \( u-v \) se puede escribir en el espacio de base \( B \), lo representamos como un vector \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) en términos de \( B \) (asumiendo que \( u \), \( v \) y \( w \) corresponden a los vectores estándar). Usamos la matriz: \[ T\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = M_{B B^{\prime}}(T) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1(-1)+2(1) \\ 1(-1)+2(-1)-4(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \] Entonces, \( T(u-v) = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \). 2.2) Para encontrar una expresión analítica de la imagen de \( T \), podemos observar cómo la matriz \( M_{B B^{\prime}}(T) \) transforma un vector de \( \mathbb{V} \). Si consideramos un vector genérico en \( \mathbb{V} \) representado por \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \), su imagen bajo \( T \) se calcula como: \[ T\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -x + 2y \\ x + 2y - 4z \end{pmatrix} \] Esto nos da la expresión \( T(x, y, z) = \begin{pmatrix} 0 \\ -x + 2y \\ x + 2y - 4z \end{pmatrix} \), que define claramente cómo se transforma cualquier vector del espacio \( \mathbb{V} \) en un vector de \( \mathbb{R}^3 \).