Exercice 2 : Pour chacune des fonctions ci-dessous ; determiner l'ensemble de definition, eusdicr la parate er conclure sur la représentation graphique dans un plan rapporté à un repere orthonormé. $$ \begin{array}{l} f(x)=x^{2}|x| ; f(x)=x+\frac{1}{x} ; f(x)=\frac{|x|}{x^{2}-1} ; f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{3}+x} ; f(x)=\frac{x}{1+x} ; \ f(x)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}} ; f(x)=\frac{5 x^{2}+3 x|x|-2 x}{x^{3}-9 x} ; f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-16}}{\sqrt{x^{2}-4}} ; f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-16}{x^{2}-4}} ; \ f(x)=\frac{\sqrt{2 x-5}}{x-3} ; f(x)=\frac{1}{\sqrt{x \mid}} ; f(x)=\frac{1+\sqrt{-x}}{1-\sqrt{-x}} ; f(x)=\frac{2 x-3}{|x+1|-\mid x-5} \ f(x)=\frac{2 x-3}{6 x^{2}-|13 x-5|} ; f(x)=\frac{1}{\sqrt{6 x^{2}-13 x-5}} ; f(x)=\frac{(x-1) \sqrt{(1+x)(2-x)}}{x(2 x-1)} ; \ \left\{\begin{array}{l} f(x)=\frac{1}{x} \ldots \text { si..x } x \leq 1 \ f(x)=x+3 \ldots \text { si...x1 } \end{array} ;\left\{\begin{array}{l} f(x)=\sqrt{3 x^{2}-14 x-5} \ldots \text { si. } x \leq 1 \ f(x)=\frac{1}{\sqrt{-2 x^{2}+11 x-15}} \text {, si. } x1 \end{array}\right.\right. \end{array} $$

Question

Exercice 2 : Pour chacune des fonctions ci-dessous ; determiner l'ensemble de definition, eusdicr la parate er conclure sur la représentation graphique dans un plan rapporté à un repere orthonormé. $$ \begin{array}{l} f(x)=x^{2}|x| ; f(x)=x+\frac{1}{x} ; f(x)=\frac{|x|}{x^{2}-1} ; f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{3}+x} ; f(x)=\frac{x}{1+x} ; \ f(x)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}} ; f(x)=\frac{5 x^{2}+3 x|x|-2 x}{x^{3}-9 x} ; f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-16}}{\sqrt{x^{2}-4}} ; f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-16}{x^{2}-4}} ; \ f(x)=\frac{\sqrt{2 x-5}}{x-3} ; f(x)=\frac{1}{\sqrt{x \mid}} ; f(x)=\frac{1+\sqrt{-x}}{1-\sqrt{-x}} ; f(x)=\frac{2 x-3}{|x+1|-\mid x-5} \ f(x)=\frac{2 x-3}{6 x^{2}-|13 x-5|} ; f(x)=\frac{1}{\sqrt{6 x^{2}-13 x-5}} ; f(x)=\frac{(x-1) \sqrt{(1+x)(2-x)}}{x(2 x-1)} ; \ \left\{\begin{array}{l} f(x)=\frac{1}{x} \ldots \text { si..x } x \leq 1 \ f(x)=x+3 \ldots \text { si...x>1 } \end{array} ;\left\{\begin{array}{l} f(x)=\sqrt{3 x^{2}-14 x-5} \ldots \text { si. } x \leq 1 \ f(x)=\frac{1}{\sqrt{-2 x^{2}+11 x-15}} \text {, si. } x>1 \end{array}\right.\right. \end{array} $$

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Pour chaque fonction donnée, nous allons déterminer l'ensemble de définition, étudier la parité, et conclure sur la représentation graphique dans un plan rapporté à un repère orthonormé.

### 1. $$ f(x) = x^2 |x| $$

**Ensemble de définition :**  
Cette fonction est définie pour tous les réels $$ x $$ car $$ |x| $$ est toujours défini. Donc, l'ensemble de définition est $$ \mathbb{R} $$.

**Parité :**  
Pour vérifier la parité, calculons $$ f(-x) $$ :
$$
f(-x) = (-x)^2 |-x| = x^2 |x| = f(x)
$$
La fonction est paire.

**Représentation graphique :**  
La fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

---

### 2. $$ f(x) = x + \frac{1}{x} $$

**Ensemble de définition :**  
Cette fonction est définie pour $$ x \neq 0 $$. Donc, l'ensemble de définition est $$ \mathbb{R} \setminus \{0\} $$.

**Parité :**  
Calculons $$ f(-x) $$ :
$$
f(-x) = -x + \frac{1}{-x} = -\left(x + \frac{1}{x}\right) = -f(x)
$$
La fonction est impaire.

**Représentation graphique :**  
La fonction est symétrique par rapport à l'origine.

---

### 3. $$ f(x) = \frac{|x|}{x^2 - 1} $$

**Ensemble de définition :**  
Cette fonction est définie pour $$ x^2 - 1 \neq 0 $$ et $$ x \neq 0 $$. Donc, l'ensemble de définition est $$ \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\} $$.

**Parité :**  
Calculons $$ f(-x) $$ :
$$
f(-x) = \frac{|-x|}{(-x)^2 - 1} = \frac{|x|}{x^2 - 1} = f(x)
$$
La fonction est paire.

**Représentation graphique :**  
La fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

---

### 4. $$ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^3 + x} $$

**Ensemble de définition :**  
Cette fonction est définie pour $$ x^3 + x \neq 0 $$, soit $$ x(x^2 + 1) \neq 0 $$. Donc, l'ensemble de définition est $$ \mathbb{R} \setminus \{0\} $$.

**Parité :**  
Calculons $$ f(-x) $$ :
$$
f(-x) = \frac{(-x)^2 + 1}{(-x)^3 + (-x)} = \frac{x^2 + 1}{-x^3 - x} = -\frac{x^2 + 1}{x^3 + x} = -f(x)
$$
La fonction est impaire.

**Représentation graphique :**  
La fonction est symétrique par rapport à l'origine.

---

### 5. $$ f(x) = \frac{x}{1+x} $$

**Ensemble de définition :**  
Cette fonction est définie pour $$ 1 + x \neq 0 $$, soit $$ x \neq -1 $$. Donc, l'ensemble de définition est $$ \mathbb{R} \setminus \{-1\} $$.

**Parité :**  
Calculons $$ f(-x) $$ :
$$
f(-x) = \frac{-x}{1 - x}
$$
La fonction n'est ni paire ni impaire.

**Représentation graphique :**  
La fonction a une asymptote verticale en $$ x = -1 $$.

---

### 6. $$ f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2} $$

**Ensemble de définition :**  
Cette fonction est définie pour $$ x \neq 0 $$. Donc, l'ensemble de définition est $$ \mathbb{R} \setminus \{0\} $$.

**Parité :**  
Calculons $$ f(-x) $$ :
$$
f(-x) = (-x)^2 + \frac{1}{(-x)^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = f(x)
$$
La fonction est paire.

**Représentation graphique :**  
La fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

---

### 7. $$ f(x) = \frac{5x^2 + 3x|x| - 2x}{x^3 - 9x} $$

**Ensemble de définition :**  
Cette fonction est définie pour $$ x^3 - 9x \neq 0 $$, soit $$ x(x^2 - 9) \neq 0 $$. Donc, l'ensemble de définition est $$ \mathbb{R} \setminus \{-3, 0, 3\} $$.

**Parité :**  
Calculons $$ f(-x) $$ :
$$
f(-x) = \frac{5(-x)^2 + 3(-x)|-x| - 2(-x)}{(-x)^3 - 9(-x)} = \frac{5x^2 - 3x^2 + 2x}{-x^3 + 9x} = \frac{2x^2 + 2x}{-x^3 + 9x}
$$
La fonction n'est ni paire ni impaire.

**Représentation graphique :**  
La fonction a des asymptotes verticales en $$ x = -3, 0, 3 $$.

---

### 8. $$ f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 16}}{\sqrt{x^2 - 4}} $$

**Ensemble de définition :**  
Cette fonction est définie lorsque $$ x^2 - 16 \geq 0 $$ et $$ x^2 - 4 > 0 $$. Donc, $$ |x| \geq 4 $$ et $$ |x| > 2 $$. L'ensemble de définition est $$ (-\infty, -4] \cup [4, +\infty) $$.

**Parité :**  
Calculons $$ f(-x) $$ :
$$
f(-x) = \frac{\sqrt{(-x)^2 - 16}}{\sqrt{(-x)^2 - 4}} = \frac{\sqrt{x^2 - 16}}{\sqrt{x^2 - 4}} = f(x)
$$
La fonction est paire.

**Représentation graphique :**  
La fonction est symétrique par rapport à l
Pour chaque fonction, nous avons déterminé son ensemble de définition, étudié sa parité, et conclu sur sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

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