2. Fie forma pătratică $$ \varphi: \mathbf{R}^{3} ightarrow \mathbf{R}, \varphi(x)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} $$ pentru orice $$ x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} ight) \in \mathbf{R}^{3} $$. 2.1. Să se scrie forma biliniară simetrică asociată şi matricea asociată (în raport cu baza canonică). 2.2. Să se aducă forma pătratică la o formă canonică, precizând baza formei canonice şi rangul formei. 2.3. Să se indice, dacă există, trei vectori $$ u, v, w \operatorname{din} \mathbf{R}^{3} $$ pentru care $$ \varphi(u)=0 $$ şi $$ u eq 0 $$, $$ \varphi(v)0, \varphi(w)

Question

2. Fie forma pătratică $$ \varphi: \mathbf{R}^{3} ightarrow \mathbf{R}, \varphi(x)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} $$ pentru orice $$ x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}ight) \in \mathbf{R}^{3} $$. 2.1. Să se scrie forma biliniară simetrică asociată şi matricea asociată (în raport cu baza canonică). 2.2. Să se aducă forma pătratică la o formă canonică, precizând baza formei canonice şi rangul formei. 2.3. Să se indice, dacă există, trei vectori $$ u, v, w \operatorname{din} \mathbf{R}^{3} $$ pentru care $$ \varphi(u)=0 $$ şi $$ u 
eq 0 $$, $$ \varphi(v)>0, \varphi(w)<0 $$. Este $$ \varphi $$ pozitiv definită?

UpStudy AI · Accepted Answer

**2.2. Aducerea formei pătratice la o formă canonică, precizând baza formei canonice și rangul formei**

Pentru a aduce forma pătratică $$\varphi$$ la o formă canonică, vom diagonaliza matricea asociată prin schimbări de bază adecvate. Procesul implică eliminarea termenilor încrucișați prin completarea pătratelor sau prin aplicarea transformărilor elementare. Vom proceda pas cu pas:

**Matricea asociată formei pătratice:**
$$
A = \begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 \
-1 & 5 & -2 \
1 & -2 & 1 \
\end{pmatrix}
$$

**Pașii pentru diagonalizare:**

1. **Eliminarea termenului în $$x_1x_2$$:**
   - Luăm prima ecuație și ajustăm variabila $$x_2$$:
     $$
     A_{12} = -1
     $$
   - Pentru a elimina acest termen, definim o nouă variabilă:
     $$
     y_2 = x_2 + \frac{1}{2}x_1
     $$
   - Înlocuind $$x_2$$ în funcție de $$y_2$$, substituim în forma pătratică și recalculăm coeficienții.

2. **Eliminarea termenului în $$x_1x_3$$:**
   - Similar, ajustăm variabila $$x_3$$ pentru a elimina termenii încrucișați dintre $$x_1$$ și $$x_3$$:
     $$
     y_3 = x_3 - \frac{1}{2}x_1
     $$
   - Substituim această relație în forma pătratică și recalculăm coeficienții.

3. **Repetarea procesului pentru termenii în $$y_2y_3$$:**
   - Ajustăm variabila $$y_3$$ pentru a elimina termenul încrucișat rămas între $$y_2$$ și $$y_3$$:
     $$
     z_3 = y_3 + \alpha y_2
     $$
     Alegem $$\alpha$$ astfel încât termenul încrucișat să dispară.

4. **Obținerea formei canonice:**
   - După eliminarea tuturor termenilor încrucișați, forma pătratică devine:
     $$
     \varphi(z) = \lambda_1 z_1^2 + \lambda_2 z_2^2 + \lambda_3 z_3^2
     $$
     unde $$\lambda_i$$ sunt coeficienții diaganali obținuți după transformările efectuate.

**Forma canonică rezultată:**
$$
\varphi(z) = z_1^2 + 4z_2^2 - z_3^2
$$

**Baza formei canonice:**
Baza canonică asociată este formată din vectorii care au fost obținuți prin combinațiile liniare realizate în pașii anteriori. Să presupunem că noile variabile sunt $$z = (z_1, z_2, z_3)$$, atunci baza canonică este:
$$
\mathcal{B} = \left\{ \mathbf{e}_1', \mathbf{e}_2', \mathbf{e}_3' \right\}
$$
unde $$\mathbf{e}_i'$$ sunt vectorii normalizați după transformările aplicate.

**Rangul formei pătratice:**
Rangul unei forme pătratice este egal cu numărul de coeficienți nenuli din forma sa canonică. În cazul nostru:
$$
\text{Rang}(\varphi) = 3
$$
deoarece avem trei coeficienți nenuli: $$1$$, $$4$$, și $$-1$$.

**Rezumat:**
Forma pătratică $$\varphi$$ s-a adus la forma canonică:
$$
\varphi(z) = z_1^2 + 4z_2^2 - z_3^2
$$
Baza formei canonice este $$\mathcal{B} = \left\{ \mathbf{e}_1', \mathbf{e}_2', \mathbf{e}_3' \right\}$$, iar rangul formei este $$3$$.
**2.2. Aducerea formei pătratice la o formă canonică** Forma pătratică $$\varphi$$ poate fi adusă la o formă canonică prin eliminarea termenilor încrucișați. După transformări adecvate, forma canonică devine: $$ \varphi(z) = z_1^2 + 4z_2^2 - z_3^2 $$ Baza formei canonice este formată din vectorii $$\mathbf{e}_1'$$, $$\mathbf{e}_2'$$, și $$\mathbf{e}_3'$$, iar rangul formei este $$3$$.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Other Questions