Esercizio 2. Si consideri l'endomorfismo \( F \) di \( \mathbb{R}^{3} \) la cui matrice canonica è \[ A=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right) \] (a) Determinare la dimensione e una base di \( \operatorname{Im}(F) \) e \( \operatorname{Ker}(F) \). (b) Trovare, se esistono, una matrice diagonale \( D \) e una matrice invertibile \( M \) tali che \( D= \) \( M^{-1} A M \). (c) Trovare, se esistono, una matrice diagonale \( D \) e una matrice ortogonale \( M \) tali che \( D= \) \( M^{-1} A M \).

Per l'endomorfismo \( F \) dato dalla matrice \( A \), iniziamo con il calcolare l'immagine e il nucleo. Per quanto riguarda la dimensione e una base di \( \operatorname{Im}(F) \) e \( \operatorname{Ker}(F) \): La matrice \( A \) ha colonne linearmente dipendenti, e quindi possiamo trovare che la dimensione dell'immagine è 2. La base dell'immagine può essere costituita dai vettori \( \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \) e \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \). Per il nucleo, eseguendo il calcolo \( A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \), otteniamo che un vettore \( \begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix} \) appartiene al nucleo, e quindi la dimensione del nucleo è 1, con una base rappresentata da \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \). Passando alla parte (b), per trovare la matrice diagonale \( D \) e la matrice invertibile \( M \) tale che \( D = M^{-1} A M \), dobbiamo calcolare gli autovalori di \( A \). Gli autovalori sono 0 (con molteplicità 1) e 4 (con molteplicità 2). La matrice diagonale può essere rappresentata come \( D = \text{diag}(0, 4, 4) \). Per \( M \), possiamo scegliere le colonne formate da autovettori linearmente indipendenti, che possiamo ottenere eseguendo la riduzione di Gauss o direttamente dai valori propri. Infine, per la parte (c), per ottenere una matrice diagonale \( D \) con una matrice ortogonale \( M \), dobbiamo utilizzare autovettori ortonormali. Poiché \( A \) non è simmetrica, non possiamo garantire che esista una matrice ortogonale \( M \) tale che \( D = M^{-1} A M \) senza ulteriore manipolazione. In questo caso, dovremmo prima trattare \( A \) in modo da ottenere una forma simmetrica, se possibile, oppure accettare che la decomposizione ortogonale non è applicabile.