On étudie un groupe de 3000 sportifs qui pratiquent soit l'athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B. En 2023, le club A compte 1700 membres et le club B en compte 1300. On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites a_{n} et b_{n}, où n désigne le rang de l'année à partir de 2023. L'année 2023 correspond au rang 0 . On a alors a_{0}=1700 et b_{0}=1300. Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes : - durant l'étude, aucun sportif ne quitte le groupe; - chaque année, 15% des sportifs du club A quittent ce club et adhèrent au club B; - chaqueannée, 10% des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club A. 1) Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024 . 2) Pour tout entier naturel n, déterminer une relation liant a_{n} et b_{n}. 3) Montrer que la suite a_{n} vérifie la relation suivante pour tout entier naturel n : a_{n+1}=0,75 a_{n}+300 4) a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a: 1200 leq a_{n+1} leq a_{n} leq 1700. b) En déduire que la suite a_{n} converge. 5) Soit v_{n} la suite définie pour tout entier naturel n par v_{n}=a_{n}-1200. a) Démontrer que la suite v_{n} est géométrique. b) Exprimer v_{n} en fonction de n. c) En déduire que pour tout entier naturel n, a_{n}=500 * 0,75^{n}+1200 . 6) a) Déterminer la limite de la suite a_{n}. b) Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l'exercice.

1) En 2024 (n=1), on calcule le nombre de membres pour chaque club. Pour le club A, 15% des membres quittent pour le club B : \( a_1 = a_0 \times 0.85 + b_0 \times 0.10 = 1700 \times 0.85 + 1300 \times 0.10 = 1445 + 130 = 1575 \). Pour le club B, 10% des membres quittent : \( b_1 = b_0 \times 0.90 + a_0 \times 0.15 = 1300 \times 0.90 + 1700 \times 0.15 = 1170 + 255 = 1425 \). 2) À chaque année, on peut exprimer les membres des deux clubs comme suit : \( a_{n+1} = 0.85 a_n + 0.10 b_n \) et \( b_{n+1} = 0.90 b_n + 0.15 a_n \). En remplaçant \( b_n \) par \( 3000 - a_n \) dans l'équation de \( a_{n+1} \), on obtient une relation entre \( a_n \) et \( b_n \). 3) En prenant en compte la relation \( b_n = 3000 - a_n \), on peut ajuster la formula pour \( a_{n+1} \): \[ a_{n+1} = 0.85 a_n + 0.10(3000 - a_n) = 0.75 a_n + 300. \] 4a) **Base de récurrence** : Pour \( n = 0 \), \( 1200 \leq 1700 \leq 1700 \) est vrai. **Hypothèse de récurrence** : Supposons que \( 1200 \leq a_n \leq 1700 \) est vrai pour un \( n \). **Pas de récurrence** : Pour \( n+1 \), on a \( a_{n+1} = 0.75 a_n + 300 \geq 0.75 \times 1200 + 300 = 900 + 300 = 1200 \) et aussi \( a_{n+1} \leq 1700 \) est vrai. 4b) La suite \( (a_n) \) étant bloquée entre 1200 et 1700, elle converge. 5a) On définit \( v_n = a_n - 1200 \) alors \( a_n = v_n + 1200 \). En remplaçant \( a_n \) dans \( a_{n+1} = 0.75 a_n + 300 \), on obtient que la suite \( (v_n) \) est géométrique avec un ratio de \( 0.75 \). 5b) En effectuant les calculs, on découvre que \( v_n = 500 \times 0.75^{n} \). 5c) Finalement, on peut exprimer \( a_n \) par \( a_n = 500 \times 0.75^n + 1200 \). 6a) La limite de la suite \( (a_n) \) quand \( n \) tend vers l'infini est 1200, car \( 0.75^n \) tend vers 0. 6b) Cela signifie que, au fil du temps, le club A stabilisera son nombre de membres autour de 1200, tandis que toute fluctuation sera amortie, illustrant l'attraction vers un état d'équilibre durable entre les deux clubs.