Una compañía aérea dispone de dos tipos de aviones A1 y A2 para cubrir un determinado trayecto. El avión A1 debe hacer más veces el trayecto que el avión A2 pero no puede sobrepasar de 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos, pero menos de 200 . En cada vuelo, A1 consume 900 litros de combustible y A2 700 litros. En cada viaje del avión A1 la empresa gana $$ \$ 30.000 $$ y $$ \$ 20.000 $$ por cada viaje del avión $$ A 2 $$. a) Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener la máxima Ganancia (resolver por método gráfico)?

Question

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Para resolver este problema, primero definimos las variables y las restricciones. **Variables:** - $$ x $$: número de viajes del avión A1. - $$ y $$: número de viajes del avión A2. **Función objetivo:** Queremos maximizar la ganancia total, que se puede expresar como: $$ G = 30,000x + 20,000y $$ **Restricciones:** 1. El avión A1 debe hacer más veces el trayecto que el avión A2: $$ x > y $$ 2. El avión A1 no puede sobrepasar los 120 viajes: $$ x \leq 120 $$ 3. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos: $$ x + y > 60 $$ 4. Entre los dos aviones deben hacer menos de 200 vuelos: $$ x + y < 200 $$ 5. Las variables deben ser no negativas: $$ x \geq 0, \quad y \geq 0 $$ ### Paso 1: Graficar las restricciones 1. **Graficar $$ x \leq 120 $$**: Esta es una línea vertical en $$ x = 120 $$. 2. **Graficar $$ x + y > 60 $$**: La línea $$ x + y = 60 $$ se puede reescribir como $$ y = 60 - x $$. La región de interés está por encima de esta línea. 3. **Graficar $$ x + y < 200 $$**: La línea $$ x + y = 200 $$ se puede reescribir como $$ y = 200 - x $$. La región de interés está por debajo de esta línea. 4. **Graficar $$ x > y $$**: Esta es la región por encima de la línea $$ y = x $$. ### Paso 2: Identificar la región factible La región factible es el área donde se cumplen todas las restricciones. Para encontrar los vértices de esta región, necesitamos encontrar las intersecciones de las líneas: 1. Intersección de $$ x + y = 60 $$ y $$ x + y = 200 $$: No hay intersección, ya que son líneas paralelas. 2. Intersección de $$ x + y = 60 $$ y $$ x = 120 $$: - Sustituyendo $$ x = 120 $$ en $$ x + y = 60 $$: $$ 120 + y = 60 \implies y = -60 \quad (\text{no es válido}) $$ 3. Intersección de $$ x + y = 200 $$ y $$ x = 120 $$: - Sustituyendo $$ x = 120 $$ en $$ x + y = 200 $$: $$ 120 + y = 200 \implies y = 80 $$ Entonces, el punto es $$ (120, 80) $$. 4. Intersección de $$ x + y = 60 $$ y $$ y = x $$: - Sustituyendo $$ y = x $$ en $$ x + y = 60 $$: $$ x + x = 60 \implies 2x = 60 \implies x = 30 \implies y = 30 $$ Entonces, el punto es $$ (30, 30) $$. 5. Intersección de $$ x + y = 200 $$ y $$ y = x $$: - Sustituyendo $$ y = x $$ en $$ x + y = 200 $$: $$ x + x = 200 \implies 2x = 200 \implies x = 100 \implies y = 100 $$ Entonces, el punto es $$ (100, 100) $$. ### Paso 3: Evaluar la función objetivo en los vértices Ahora evaluamos la función objetivo $$ G = 30,000x + 20,000y $$ en los puntos de la región factible: 1. En $$ (30, 30) $$: $$ G = 30,000(30) + 20,000(30) = 900,000 + 600,000 = 1,500,000 $$ 2. En $$ (120, 80) $$: $$ G = 30,000(120) + 20,000(80) = 3,600,000 + 1,600,000 = 5,200,000 $$ 3. En $$ (100, 100) $$: $$ G = 30,000(100) + 20,000(100) = 3,000,000 + 2,000,000 = 5,000,000 $$ ### Paso 4: Determinar la solución óptima La máxima ganancia se obtiene en el punto $$ (120, 80) $$ con una ganancia de $$ \$ 5,200,000 $$. ### Respuesta final Para obtener la máxima ganancia, el avión A1 debe hacer **120 viajes** y el avión A2 debe hacer **80 viajes**. El avión A1 debe hacer 120 viajes y el avión A2 debe hacer 80 viajes para obtener la máxima ganancia.

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