Encontre a área entre as curvas $$ y = \sin(x) $$ e $$ y = \cos(x) $$ no intervalo de $$ 0 $$ a $$ \frac{\pi}{2} $$.

Question

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Para encontrar a área entre as curvas $$ y = \sin(x) $$ e $$ y = \cos(x) $$ no intervalo de $$ 0 $$ a $$ \frac{\pi}{2} $$, precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Identificar as funções**: Temos as funções $$ f(x) = \sin(x) $$ e $$ g(x) = \cos(x) $$.

2. **Determinar os pontos de interseção**: Precisamos encontrar onde $$ \sin(x) = \cos(x) $$ no intervalo dado. Isso ocorre quando $$ x = \frac{\pi}{4} $$.

3. **Calcular a área**: A área entre as curvas de $$ 0 $$ a $$ \frac{\pi}{4} $$ será dada pela integral da função superior menos a função inferior. No intervalo de $$ 0 $$ a $$ \frac{\pi}{4} $$, $$ \cos(x) $$ é a função superior e $$ \sin(x) $$ é a função inferior. A área entre as curvas de $$ \frac{\pi}{4} $$ a $$ \frac{\pi}{2} $$ será o inverso, onde $$ \sin(x) $$ é a função superior.

Assim, a área total $$ A $$ pode ser expressa como:

$$
A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos(x) - \sin(x)) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin(x) - \cos(x)) \, dx
$$

Agora, vamos calcular essas integrais.

Primeiro, calculamos a integral de $$ \cos(x) - \sin(x) $$ de $$ 0 $$ a $$ \frac{\pi}{4} $$:

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos(x) - \sin(x)) \, dx
$$

E depois, a integral de $$ \sin(x) - \cos(x) $$ de $$ \frac{\pi}{4} $$ a $$ \frac{\pi}{2} $$:

$$
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin(x) - \cos(x)) \, dx
$$

Vamos calcular essas integrais.
Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using formulas and rules:
  $$\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} \sin\left(x\right)-\cos\left(x\right) dx$$
- step1: Evaluate the integral:
  $$\int \sin\left(x\right)-\cos\left(x\right) dx$$
- step2: Use properties of integrals:
  $$\int \sin\left(x\right) dx+\int -\cos\left(x\right) dx$$
- step3: Evaluate the integral:
  $$-\cos\left(x\right)+\int -\cos\left(x\right) dx$$
- step4: Evaluate the integral:
  $$-\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)$$
- step5: Return the limits:
  $$\left(-\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)\right)\bigg |_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$$
- step6: Calculate the value:
  $$-1+\sqrt{2}$$
Calculate the integral $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos(x) - \sin(x)) \, dx $$.
Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using formulas and rules:
  $$\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} \cos\left(x\right)-\sin\left(x\right) dx$$
- step1: Evaluate the integral:
  $$\int \cos\left(x\right)-\sin\left(x\right) dx$$
- step2: Use properties of integrals:
  $$\int \cos\left(x\right) dx+\int -\sin\left(x\right) dx$$
- step3: Evaluate the integral:
  $$\sin\left(x\right)+\int -\sin\left(x\right) dx$$
- step4: Evaluate the integral:
  $$\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)$$
- step5: Return the limits:
  $$\left(\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)\bigg |_{0}^{\frac{\pi }{4}}$$
- step6: Calculate the value:
  $$\sqrt{2}-1$$
As integrais foram calculadas e os resultados são os seguintes:

1. Para a integral de $$ \cos(x) - \sin(x) $$ de $$ 0 $$ a $$ \frac{\pi}{4} $$:
   $$
   \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos(x) - \sin(x)) \, dx = \sqrt{2} - 1
   $$

2. Para a integral de $$ \sin(x) - \cos(x) $$ de $$ \frac{\pi}{4} $$ a $$ \frac{\pi}{2} $$:
   $$
   \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin(x) - \cos(x)) \, dx = -1 + \sqrt{2}
   $$

Agora, somamos as duas áreas para encontrar a área total $$ A $$:

$$
A = (\sqrt{2} - 1) + (-1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2
$$

Portanto, a área entre as curvas $$ y = \sin(x) $$ e $$ y = \cos(x) $$ no intervalo de $$ 0 $$ a $$ \frac{\pi}{2} $$ é:

$$
A = 2\sqrt{2} - 2
$$
A área entre as curvas $$ y = \sin(x) $$ e $$ y = \cos(x) $$ no intervalo de $$ 0 $$ a $$ \frac{\pi}{2} $$ é $$ 2\sqrt{2} - 2 $$.

Encontre a área entre as curvas e no intervalo de a .

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