Soit un parallélogramme de centre et un point du plan tel que soient
I et les projetés respectifs des points et sur la droite (AC) parallèlement à la droite (DE)

1. Construire une figure
2. Montrer que :
3. a) Montrer que est le milieu de
   b) En déduire que :

Pour construire une figure, commencez par dessiner le parallélogramme en plaçant les points , , , et de manière à ce que et soient en ligne horizontale, tandis que et soient en hauteur. Le point , le centre du parallélogramme, se trouvera au milieu des diagonales et . Ensuite, placez le point à une distance équivalente à trois fois la longueur de dans la direction de . Tracez la ligne et trouvez les projections et de et le long de cette ligne en utilisant des droites parallèles à .

Pour montrer que , commençons par exprimer les vecteurs en fonction des points. On a . Les points et sont les projections de et sur la droite . Cela signifie que nous avons une proportionnalité entre les vecteurs en jeu. En utilisant les propriétés des projections et la relation donnée, on peut établir la relation vectorielle voulue.

a) Pour montrer que est le milieu de , on peut démontrer que les vecteurs et ont la même longueur et qu’ils sont opposés. Cela découle de la symétrie du parallélogramme et de l’égalité précédente. b) En déduire que signifie que la distance est égale à la distance , ce qui est directement lié à la construction initiale et aux propriétés des parallélogrammes, où des segments opposés sont sempre de même longueur en raison de leur nature.