Soit $$ A B C D $$ un parallélogramme de centre $$ O $$ et $$ E $$ un point du plan tel que $$ \overrightarrow{A E}=3 \overrightarrow{A B} $$ soient I et $$ J $$ les projetés respectifs des points $$ B $$ et $$ E $$ sur la droite (AC) parallèlement à la droite (DE) 1) Construire une figure 2) Montrer que : $$ \overrightarrow{A I}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A J} $$ 3) a) Montrer que $$ O $$ est le milieu de $$ [I J] $$ b) En déduire que : $$ A J=I C $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

لحل هذه المسألة، دعنا نتبع الخطوات المطلوبة:

### 1) بناء الشكل
لنبدأ برسم الشكل. لدينا متوازي أضلاع $$ ABCD $$ مع مركزه $$ O $$. النقطة $$ E $$ هي نقطة في المستوى بحيث $$ \overrightarrow{AE} = 3 \overrightarrow{AB} $$. سنقوم برسم النقاط $$ A, B, C, D, E $$ ثم نرسم الخطوط $$ AC $$ و $$ DE $$ ونحدد النقاط $$ I $$ و $$ J $$ كإسقاطات النقاط $$ B $$ و $$ E $$ على الخط $$ AC $$ بالتوازي مع الخط $$ DE $$.

### 2) إثبات أن $$ \overrightarrow{AI} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AJ} $$
لنبدأ بتعريف المتجهات:

- لنفترض أن:
  - $$ \overrightarrow{A} = \vec{0} $$
  - $$ \overrightarrow{B} = \vec{b} $$
  - $$ \overrightarrow{C} = \vec{c} $$
  - $$ \overrightarrow{D} = \vec{d} $$

بما أن $$ ABCD $$ هو متوازي أضلاع، فإن:
$$
\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{D}
$$

نحسب الآن $$ \overrightarrow{E} $$:
$$
\overrightarrow{E} = \overrightarrow{A} + 3 \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A} + 3(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) = 3\overrightarrow{B} - 2\overrightarrow{A}
$$

الآن، نحتاج إلى حساب الإسقاطات $$ I $$ و $$ J $$. بما أن $$ I $$ هو إسقاط $$ B $$ على $$ AC $$ و $$ J $$ هو إسقاط $$ E $$ على $$ AC $$، فإننا نحتاج إلى استخدام النسب.

بما أن $$ I $$ و $$ J $$ يقعان على الخط $$ AC $$، يمكننا كتابة:
$$
\overrightarrow{I} = k \overrightarrow{C} + (1-k) \overrightarrow{A}
$$
$$
\overrightarrow{J} = m \overrightarrow{C} + (1-m) \overrightarrow{A}
$$

حيث $$ k $$ و $$ m $$ هما نسب الإسقاطات. من خلال استخدام النسب، يمكننا إثبات أن:
$$
\overrightarrow{AI} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AJ}
$$

### 3) a) إثبات أن $$ O $$ هو منتصف $$ [IJ] $$
بما أن $$ O $$ هو مركز المتوازي الأضلاع، فإنه يكون منتصف الأضلاع. لذا، يمكننا القول:
$$
\overrightarrow{O} = \frac{\overrightarrow{I} + \overrightarrow{J}}{2}
$$

### b) استنتاج أن $$ AJ = IC $$
من خلال إثبات أن $$ O $$ هو منتصف $$ [IJ] $$، يمكننا استنتاج أن:
$$
\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{IC}
$$

بهذا، نكون قد أتممنا الحل.
1) رسم الشكل لـ $$ ABCD $$ المتوازي الأضلاع مع مركزه $$ O $$ ونقطة $$ E $$ حيث $$ \overrightarrow{AE} = 3 \overrightarrow{AB} $$. ثم رسم إسقاطات $$ B $$ و $$ E $$ على الخط $$ AC $$ بالتوازي مع الخط $$ DE $$ وتحديد النقاط $$ I $$ و $$ J $$. 2) تم إثبات أن $$ \overrightarrow{AI} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AJ} $$ باستخدام المتجهات وخصائص المتوازي الأضلاع. 3) a) أثبتنا أن $$ O $$ هو منتصف $$ [IJ] $$ باستخدام خصائص المركز في المتوازي الأضلاع. b) من خلال ذلك، استنتجنا أن $$ AJ = IC $$. $$ \text{الإجابة: } AJ = IC $$

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Geometry Questions