(a) Se te da el punto $$ (1, \pi / 2) $$ en coordenadas polares. (i) Encuentre otro par de coordenadas polares para este punto tal quer $$ 0 \mathrm{y} 2 \pi \leq heta

Question

(a) Se te da el punto $$ (1, \pi / 2) $$ en coordenadas polares. (i) Encuentre otro par de coordenadas polares para este punto tal quer $$ >0 \mathrm{y} 2 \pi \leq heta<4 \pi $$. $$ r=\square $$ $$ heta=\square $$ (ii) Encuentre otro par de coordenadas polares para este punto tal quer $$ <0 \mathrm{y} 0 \leq heta<2 \pi $$. $$ r=\square $$ $$ heta=\square $$ (b) Se te da el punto $$ (-2, \pi / 4) $$ en coordenadas polares. (i) Encuentre otro par de coordenadas polares para este punto tal que $$ r>0 \mathrm{y} 2 \pi \leq heta<4 \pi $$. $$ r=\square $$ $$ heta=\square $$ (ii) Encuentre otro par de coordenadas polares para este punto tal que $$ r<0 \mathrm{y}-2 \pi \leq heta<0 $$. $$ r=\square $$

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(a) Punto dado: $$(1, \pi/2)$$. **(i) Con $$r>0$$ y $$2\pi\le\theta<4\pi$$:** Se puede sumar $$2\pi$$ al ángulo original para obtener: $$ r=1,\quad \theta=\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{\pi+4\pi}{2}=\frac{5\pi}{2}. $$ **(ii) Con $$r<0$$ y $$0\le\theta<2\pi$$:** Para obtener una representación con $$r<0$$ se utiliza que $$ (r,\theta)=( -r,\theta+\pi). $$ Aplicando a $$(1,\pi/2)$$: $$ r=-1,\quad \theta=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2}. $$ (b) Punto dado: $$(-2,\pi/4)$$. Primero, se puede convertir a una representación con $$r>0$$ sumando $$\pi$$ al ángulo: $$ (-2,\pi/4) \equiv (2,\pi/4+\pi)=(2,5\pi/4). $$ **(i) Con $$r>0$$ y $$2\pi\le\theta<4\pi$$:** Sumamos $$2\pi$$ al ángulo obtenido: $$ r=2,\quad \theta=\frac{5\pi}{4}+2\pi=\frac{5\pi+8\pi}{4}=\frac{13\pi}{4}. $$ **(ii) Con $$r<0$$ y $$-2\pi\le\theta<0$$:** Partiendo de la representación original $$(-2,\pi/4)$$, ajustamos el ángulo restando $$2\pi$$: $$ r=-2,\quad \theta=\frac{\pi}{4}-2\pi=\frac{\pi-8\pi}{4}=-\frac{7\pi}{4}. $$ (a) Punto dado: $$(1, \pi/2)$$. **(i) Con $$r>0$$ y $$2\pi\le\theta<4\pi$$:** $$ r=1,\quad \theta=\frac{5\pi}{2} $$ **(ii) Con $$r<0$$ y $$0\le\theta<2\pi$$:** $$ r=-1,\quad \theta=\frac{3\pi}{2} $$ (b) Punto dado: $$(-2,\pi/4)$$. **(i) Con $$r>0$$ y $$2\pi\le\theta<4\pi$$:** $$ r=2,\quad \theta=\frac{13\pi}{4} $$ **(ii) Con $$r<0$$ y $$-2\pi\le\theta<0$$:** $$ r=-2,\quad \theta=-\frac{7\pi}{4} $$

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