Exercice 1: On considère dans \( I R^{3} \), le sous ensemble \( F \) définir par: \[ F=\{(x-y, 2 x+y+4 z, 3 y+2 z) / x, y, z \in \mathbb{R}\} \] 1. Montrer que \( F \) est un sous espace vectoriel de \( I R^{3} \). 2. Donner une base de \( F \), quelle est sa dimension? 3. Fest-il égalé à \( I R^{3} \) ?

Pour résoudre ce problème, nous devons suivre plusieurs étapes : 1. **Montrer que \( F \) est un sous espace vectoriel de \( \mathbb{R}^3 \)** Pour montrer que \( F \) est un sous espace vectoriel de \( \mathbb{R}^3 \), nous devons vérifier les trois propriétés d'un sous espace vectoriel : - \( F \) est non vide. - \( F \) est fermé sous l'addition. - \( F \) est fermé sous la multiplication par un scalaire. - **Non vide** : Soit \( (0, 0, 0) \in F \) avec \( x = y = z = 0 \). Donc \( F \) n'est pas vide. - **Fermé sous l'addition** : Soient \( (x_1 - y_1, 2x_1 + y_1 + 4z_1, 3y_1 + 2z_1) \) et \( (x_2 - y_2, 2x_2 + y_2 + 4z_2, 3y_2 + 2z_2) \) dans \( F \). Alors leur somme est : \[ (x_1 - y_1 + x_2 - y_2, 2x_1 + y_1 + 4z_1 + 2x_2 + y_2 + 4z_2, 3y_1 + 2z_1 + 3y_2 + 2z_2) = (x_1 + x_2 - (y_1 + y_2), 2(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) + 4(z_1 + z_2), 3(y_1 + y_2) + 2(z_1 + z_2)) \] qui est également dans \( F \). - **Fermé sous la multiplication par un scalaire** : Soit \( c \in \mathbb{R} \) et \( (x - y, 2x + y + 4z, 3y + 2z) \in F \). Alors \( c(x - y, 2x + y + 4z, 3y + 2z) = (cx - cy, 2cx + cy + 4cz, 3cy + 2cz) \) est également dans \( F \). Donc \( F \) est un sous espace vectoriel de \( \mathbb{R}^3 \). 2. **Donner une base de \( F \) et déterminer sa dimension** Soit \( F = \{(x - y, 2x + y + 4z, 3y + 2z) / x, y, z \in \mathbb{R}\} \). Nous allons chercher une base de \( F \) en prenant des vecteurs non colinéaires. Prenez \( v_1 = (1, 2, 0) \) et \( v_2 = (-1, 1, 0) \). Ces deux vecteurs sont dans \( F \) car : \[ v_1 = (1 - 0, 2 \cdot 1 + 0 + 4 \cdot 0, 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0) = (1, 2, 0) \] \[ v_2 = (-1 - 0, 2 \cdot (-1) + 1 + 4 \cdot 0, 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0) = (-1, -1, 0) \] Vérifions si \( v_1 \) et \( v_2 \) sont linéairement indépendants. Soit \( a, b \in \mathbb{R} \) tels que \( av_1 + bv_2 = 0 \). Cela donne : \[ a(1, 2, 0) + b(-1, 1, 0) = (a - b, 2a + b, 0) = (0, 0, 0) \] Cela implique \( a - b = 0 \) et \( 2a + b = 0 \). La solution est \( a = b = 0 \), donc \( v_1 \) et \( v_2 \) sont linéairement indépendants. Donc, une base de \( F \) est