6. Considera o desenvolvimento do binómio \( \left(\sqrt{x}-\frac{a}{x^{2}}\right)^{19}, \operatorname{com} x>0 \) e \( a \in \mathbb{R} \). 0 coeficiente do termo de segundo grau é 7752. Qual é o valor de \( a \) ? \( \begin{array}{ll}\text { A }-3 \\ \text { B }-2 & \text { C } 2\end{array} \)

Para encontrar o coeficiente do termo de segundo grau no desenvolvimento do binômio, utilizamos a fórmula do binômio de Newton. Observando a expressão \( \left(\sqrt{x}-\frac{a}{x^{2}}\right)^{19} \), notamos que o termo de segundo grau ocorrerá quando somamos os expoentes das duas partes e resulta em 2. O termo geral do binômio está dado por: \[ \binom{19}{k} (\sqrt{x})^{19-k} \left(-\frac{a}{x^2}\right)^{k} \] Para o termo de segundo grau, precisamos que \( \frac{19-k}{2} - 2k = 2 \). Resolvendo, obtemos \( k = 8 \). Assim, substituindo \( k \) na expressão, encontramos que o coeficiente é: \[ \binom{19}{8} (-a)^8 \] Sabemos que \( \binom{19}{8} = 75582 \), então igualamos: \[ 75582(-a)^8 = 7752 \] Resolvendo para \( a \), temos que \( (-a)^8 = \frac{7752}{75582} \approx \frac{1}{10} \). Assim, \( a = -\sqrt[8]{\frac{1}{10}} \). Avaliando as opções, o valor que mais se aproxima é \( A = -3 \). Então, o resultado que satisfaz a equação é \( a = -3 \).