2. Calcule, aplicando as regras da derivação: $$ \begin{array}{ll} ext { a) } y=\frac{x^{4}-2}{10} & ext { b) } y=\left(\frac{3 x-2}{x} ight)^{2} \ ext { d) } y=\frac{2 x^{2}-3}{x^{3}} & ext { e) } y=\frac{1}{x^{2}}\end{array} $$

Question

2. Calcule, aplicando as regras da derivação: $$ \begin{array}{ll}	ext { a) } y=\frac{x^{4}-2}{10} & 	ext { b) } y=\left(\frac{3 x-2}{x}ight)^{2} \ 	ext { d) } y=\frac{2 x^{2}-3}{x^{3}} & 	ext { e) } y=\frac{1}{x^{2}}\end{array} $$

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Vamos calcular as derivadas das funções dadas, aplicando as regras da derivação.

### a) $$ y = \frac{x^{4} - 2}{10} $$

Para calcular a derivada, podemos usar a regra da constante e a regra da potência:

$$
y' = \frac{1}{10} \cdot \frac{d}{dx}(x^{4} - 2) = \frac{1}{10} \cdot (4x^{3} - 0) = \frac{4x^{3}}{10} = \frac{2x^{3}}{5}
$$

### b) $$ y = \left(\frac{3x - 2}{x}\right)^{2} $$

Primeiro, vamos simplificar a função:

$$
y = \left(3 - \frac{2}{x}\right)^{2}
$$

Agora, aplicamos a regra da cadeia:

$$
y' = 2\left(3 - \frac{2}{x}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(3 - \frac{2}{x}\right)
$$

Calculando a derivada interna:

$$
\frac{d}{dx}\left(3 - \frac{2}{x}\right) = 0 + 2x^{-2} = \frac{2}{x^{2}}
$$

Portanto:

$$
y' = 2\left(3 - \frac{2}{x}\right) \cdot \frac{2}{x^{2}} = \frac{4\left(3 - \frac{2}{x}\right)}{x^{2}} = \frac{12 - \frac{8}{x}}{x^{2}} = \frac{12x - 8}{x^{3}}
$$

### d) $$ y = \frac{2x^{2} - 3}{x^{3}} $$

Usamos a regra do quociente:

$$
y' = \frac{(x^{3}) \cdot (4x) - (2x^{2} - 3) \cdot (3x^{2})}{(x^{3})^{2}}
$$

Calculando o numerador:

$$
= 4x^{4} - (6x^{4} - 9x^{2}) = 4x^{4} - 6x^{4} + 9x^{2} = -2x^{4} + 9x^{2}
$$

Assim, temos:

$$
y' = \frac{-2x^{4} + 9x^{2}}{x^{6}} = \frac{-2x^{2} + 9}{x^{4}}
$$

### e) $$ y = \frac{1}{x^{2}} $$

Podemos reescrever a função como $$ y = x^{-2} $$ e aplicar a regra da potência:

$$
y' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^{3}}
$$

### Resumo das derivadas:

- a) $$ y' = \frac{2x^{3}}{5} $$
- b) $$ y' = \frac{12x - 8}{x^{3}} $$
- d) $$ y' = \frac{-2x^{2} + 9}{x^{4}} $$
- e) $$ y' = -\frac{2}{x^{3}} $$
a) $$ y' = \frac{2x^{3}}{5} $$ b) $$ y' = \frac{12x - 8}{x^{3}} $$ d) $$ y' = \frac{-2x^{2} + 9}{x^{4}} $$ e) $$ y' = -\frac{2}{x^{3}} $$

2. Calcule, aplicando as regras da derivação: \( \begin{array}{ll}\text { a) } y=\frac{x^{4}-2}{10} & \text { b) } y=\left(\frac{3 x-2}{x}\right)^{2} \\ \text { d) } y=\frac{2 x^{2}-3}{x^{3}} & \text { e) } y=\frac{1}{x^{2}}\end{array} \)

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