1) Calculer et simplifier les expressions suivantes: $$ A=\sqrt{25} ; B=\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} \quad ; \quad C=\sqrt{50} \times \sqrt{2} \quad \text { et } D=2 \sqrt{45}+\sqrt{5}-7 \sqrt{21} $$ Rendre rationnel le dénominateur du nombre : ( $$ E=\frac{1}{4-\sqrt{7}} $$ Donner l'écriture scientifique du nombre : $$ \quad \mathrm{F}=2025 \times\left(10^{-2}\right)^{5} \times 10^{7} $$

Question

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Calculons et simplifions les expressions demandées :

### 1) Calcul et simplification des expressions

**A) $$ A = \sqrt{25} $$**

$$
\sqrt{25} = 5
$$

**B) $$ B = \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} $$**

On utilise la propriété des racines carrées $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$ :

$$
B = \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4
$$

**C) $$ C = \sqrt{50} \times \sqrt{2} $$**

On utilise la propriété des racines carrées $$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$$ :

$$
C = \sqrt{50} \times \sqrt{2} = \sqrt{50 \times 2} = \sqrt{100} = 10
$$

**D) $$ D = 2 \sqrt{45} + \sqrt{5} - 7 \sqrt{21} $$**

Simplifions chaque terme :

1. Simplifions $$\sqrt{45}$$ :
   $$
   \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}
   $$

2. Simplifions $$\sqrt{21}$$ :
   $$
   \sqrt{21} = \sqrt{21} \quad (\text{ne peut pas être simplifié davantage})
   $$

Remplaçons dans $$D$$ :

$$
D = 2 \times 3\sqrt{5} + \sqrt{5} - 7\sqrt{21} = 6\sqrt{5} + \sqrt{5} - 7\sqrt{21} = 7\sqrt{5} - 7\sqrt{21}
$$

On peut factoriser par 7 :

$$
D = 7(\sqrt{5} - \sqrt{21})
$$

### 2) Rationalisation du dénominateur

**$$ E = \frac{1}{4 - \sqrt{7}} $$**

Pour rationaliser le dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $$4 - \sqrt{7}$$, qui est $$4 + \sqrt{7}$$ :

$$
E = \frac{1}{4 - \sqrt{7}} \times \frac{4 + \sqrt{7}}{4 + \sqrt{7}} = \frac{4 + \sqrt{7}}{(4)^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{4 + \sqrt{7}}{16 - 7} = \frac{4 + \sqrt{7}}{9}
$$

Ainsi, la forme rationnalisée de $$E$$ est :

$$
E = \frac{4 + \sqrt{7}}{9}
$$

### 3) Écriture scientifique du nombre $$ F $$

**$$ F = 2025 \times \left(10^{-2}\right)^{5} \times 10^{7} $$**

Simplifions étape par étape :

1. Calcul des puissances de 10 :
   $$
   \left(10^{-2}\right)^{5} = 10^{-10}
   $$
   
   Donc,
   $$
   F = 2025 \times 10^{-10} \times 10^{7} = 2025 \times 10^{-3}
   $$

2. Calcul final :
   $$
   2025 \times 10^{-3} = 2025 \div 1000 = 2.025
   $$

Ainsi, l'écriture scientifique de $$F$$ est :

$$
F = 2.025 \times 10^{0}
$$

Cependant, puisque $$10^{0} = 1$$, on peut simplement écrire :

$$
F = 2.025
$$

---

**Résumé des résultats :**

$$
\begin{align*}
A &= 5 \
B &= 4 \
C &= 10 \
D &= 7(\sqrt{5} - \sqrt{21}) \
E &= \frac{4 + \sqrt{7}}{9} \
F &= 2.025
\end{align*}
$$
$$ \begin{align*} A &= 5 \ B &= 4 \ C &= 10 \ D &= 7(\sqrt{5} - \sqrt{21}) \ E &= \frac{4 + \sqrt{7}}{9} \ F &= 2.025 \end{align*} $$

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