\( 1^{\circ} \) ) Utilizando o método de Separação de Variáveis, resolva a seguinte Equação Diferencial Parcial: \[ 4 \frac{\partial u}{\partial x}(x, y)+12 \frac{\partial u}{\partial y}(x, y)=0 \] Condição inicial: \( u(x, 0)=5 \cdot e^{-3 x} \)

Para resolver a equação diferencial parcial \( 4 \frac{\partial u}{\partial x}(x, y)+12 \frac{\partial u}{\partial y}(x, y)=0 \) pelo método de Separação de Variáveis, começamos assumindo uma solução na forma \( u(x, y) = X(x)Y(y) \). Substituindo na equação, obtemos: \[ 4 \frac{dX}{dx}Y + 12 X \frac{dY}{dy} = 0 \] Dividindo por \( XY \) e rearranjando, temos: \[ \frac{4}{X}\frac{dX}{dx} + \frac{12}{Y}\frac{dY}{dy} = 0 \] Isso implica que \( \frac{4}{X}\frac{dX}{dx} = -\frac{12}{Y}\frac{dY}{dy} = -\lambda \) para alguma constante \( \lambda \). A partir disso, obtemos duas equações: 1. \( \frac{dX}{dx} = -\frac{\lambda}{4} X \) 2. \( \frac{dY}{dy} = -\frac{\lambda}{12} Y \) Resolvendo essas equações, temos: \[ X(x) = C_1 e^{-\frac{\lambda}{4} x} \] \[ Y(y) = C_2 e^{-\frac{\lambda}{12} y} \] Portanto, \[ u(x, y) = C_1 C_2 e^{-\frac{\lambda}{4} x - \frac{\lambda}{12} y} \] Agora, aplicando a condição inicial \( u(x, 0) = 5 e^{-3x} \), encontramos que \( Y(0) = C_2 \), portanto: \[ u(x, 0) = C_1 C_2 e^{-\frac{\lambda}{4} x} = 5 e^{-3x} \] Isso leva a \( C_1 C_2 = 5 \) e \( -\frac{\lambda}{4} = -3 \), logo \( \lambda = 12 \). Agora substituindo \( \lambda \) em \( Y(y) \): \[ Y(y) = C_2 e^{-y} \] Assim, \( u(x, y) = C_1 C_2 e^{-3x - y} \). Como já sabemos que \( C_1 C_2 = 5 \), a solução final se torna: \[ u(x, y) = 5 e^{-3x - y} \] Essa é a solução para a equação diferencial proposta!