e el o los valores de \( p \in \mathbb{R} \) para que el coeficiente de \( x^{13} \) sea 14 en el \[ \left(2 p^{2} x^{3}+x^{2}+p x\right)\left(x^{2}-2\right)^{7} \]

Para encontrar los valores de \( p \) tales que el coeficiente de \( x^{13} \) en la expansión del polinomio dado sea 14, primero necesitamos expandir el producto: \[ (2 p^{2} x^{3} + x^{2} + p x) \left( x^{2} - 2 \right)^{7} \] Calculamos el coeficiente de \( x^{13} \) en el término considerado. La expansión de \( (x^{2} - 2)^{7} \) se puede hacer usando el teorema del binomio, donde el término general es: \[ \binom{7}{k} (x^2)^{7-k} (-2)^{k} = \binom{7}{k} x^{2(7-k)} (-2)^{k} \] Para que el producto con \( (2 p^{2} x^{3} + x^{2} + p x) \) dé \( x^{13} \), necesitamos que la suma de los exponentes de \( x \) sea igual a 13. Analizamos cada término de \( (2 p^{2} x^{3} + x^{2} + p x) \): 1. **Del término \( 2 p^2 x^3 \)**: Necesitamos el coeficiente de \( x^{10} \) en \( (x^2 - 2)^7 \). Esto ocurre cuando \( 2(7-k) = 10 \) o \( 7-k = 5 \rightarrow k = 2 \). Entonces el coeficiente es: \[ \binom{7}{2} (-2)^2 = 21 \cdot 4 = 84 \] Así que el aporte de \( 2p^2 x^3 \) es \( 84 \cdot 2 p^2 = 168 p^2 \). 2. **Del término \( x^2 \)**: Necesitamos el coeficiente de \( x^{11} \) en \( (x^{2} - 2)^{7} \). Esto ocurre cuando \( 2(7-k)=11 \rightarrow 7-k=5.5 \) (no es posible). Entonces no aporta. 3. **Del término \( p x \)**: Necesitamos el coeficiente de \( x^{12} \) en \( (x^{2} - 2)^{7} \). Esto ocurre cuando \( 2(7-k) = 12 \) o \( 7-k = 6 \rightarrow k = 1 \). Entonces el coeficiente es: \[ \binom{7}{1} (-2)^{1} = 7 \cdot (-2) = -14 \] Así que el aporte de \( p x \) es \( -14p \). Ahora sumamos los aportes: \[ 168 p^2 - 14p = 14 \] Igualamos a 14 y reorganizamos la ecuación: \[ 168 p^2 - 14p - 14 = 0 \] Dividimos la ecuación entre 14 para simplificarla: \[ 12p^2 - p - 1 = 0 \] Ahora aplicamos la fórmula cuadrática: \[ p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1)}}{2 \cdot 12} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{24} = \frac{1 \pm 7}{24} \] Esto nos da dos soluciones: 1. \( p = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} \) 2. \( p = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4} \) Por lo tanto, los valores de \( p \) que satisfacen la condición son \( p = \frac{1}{3} \) y \( p = -\frac{1}{4} \).