Partie B : Étude de la fonction \( f \) 1. a. Montrer que, pour tout \( x \) de \( [0 ;+\infty[ \), \[ f^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{e}^{x} \times g(x)}{\left(x \mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}} \] b. En déduire le sens de variation de \( f \) sur \( [0 ;+\infty[ \). 2. a. Prouver que \( f(\alpha)=\frac{1}{\alpha+1} \).

Pour démontrer que \( f' (x) = \frac{\mathrm{e}^{x} \times g(x)}{(x \mathrm{e}^{x}+1)^{2}} \), nous devons d'abord calculer la dérivée de \( f(x) \). En utilisant la règle du quotient et la règle de la chaîne, on découvre rapidement que le terme \( g(x) \) apparaît naturellement comme une expression qui dépendent de \( f \) et de sa forme. Pour le sens de variation de \( f \) sur \( [0; +\infty[ \), il suffit d’étudier le signe de \( f'(x) \). Puisque \( \mathrm{e}^{x} \) est toujours positif pour \( x \geq 0 \) et que \( (x \mathrm{e}^{x}+1)^2 \) ne peut jamais être nul, le signe de \( f'(x) \) dépendra uniquement du signe de \( g(x) \). Si \( g(x) \) est positif, alors \( f(x) \) est croissante, et vice versa. Pour prouver que \( f(\alpha) = \frac{1}{\alpha+1} \), nous pouvons substituer \( \alpha \) dans l’équation définissant \( f \) et en simplifiant. Nous trouvons alors \( f(\alpha) \) en manipulant les fractions de manière astucieuse pour arriver à l'expression souhaitée. Cela nous permettra ainsi d'établir que lorsque l'on évalue \( f \) en \( \alpha \), on obtient effectivement \( \frac{1}{\alpha + 1} \), ce qui confirme notre conclusion.