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La función \( f(x) \) es \( \frac{1}{2x+3} \cdot e^{x^{2}+3x-5} + C \), donde \( C \) es una constante.
Solution
Para encontrar la función \( f(x) \) a partir de su derivada \( f^{\prime}(x) \), necesitamos integrar la derivada.
Dada la derivada \( f^{\prime}(x) = e^{x^{2}+3x-5} \), podemos integrarla para encontrar la función \( f(x) \).
La integral de \( e^{x^{2}+3x-5} \) con respecto a \( x \) se puede calcular de la siguiente manera:
\[ f(x) = \int e^{x^{2}+3x-5} \, dx \]
Para integrar esta función, podemos utilizar la sustitución \( u = x^{2}+3x-5 \), lo que nos da \( du = (2x+3) \, dx \).
Sustituyendo \( u \) y \( du \) en la integral, obtenemos:
\[ f(x) = \int e^{u} \, \frac{1}{2x+3} \, du \]
Ahora, podemos integrar \( e^{u} \) con respecto a \( u \), lo que nos da:
\[ f(x) = \frac{1}{2x+3} \cdot e^{u} + C \]
Sustituyendo nuevamente \( u = x^{2}+3x-5 \), obtenemos:
\[ f(x) = \frac{1}{2x+3} \cdot e^{x^{2}+3x-5} + C \]
Donde \( C \) es la constante de integración.
Por lo tanto, la función \( f(x) \) es:
\[ f(x) = \frac{1}{2x+3} \cdot e^{x^{2}+3x-5} + C \]
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Simplify this solution Bonus Knowledge
To solve for \( f(x) \), you would integrate \( f^{\prime}(x) \). The expression you have, \( e^{x^{2}+3x-5} \), can be tackled using substitution, although it may not yield a simple elementary form. You could let \( u = x^2 + 3x - 5 \) and then \( du = (2x + 3)dx \). This substitution can help simplify the integration process. Once you integrate, don’t forget to add the constant of integration, which is crucial to finding the general solution for \( f(x) \). This aspect is often overlooked, but it’s like forgetting to add sprinkles to a cupcake—it’s just not complete without it!
