Considere la EDO $$ \frac{d y}{d x}=3 x \sin (x)+5 $$. Diga cuál de las siguientes es su solución:

Question

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Para resolver la ecuación diferencial ordinaria (EDO) dada:

$$
\frac{d y}{d x} = 3 x \sin(x) + 5
$$

debemos integrar ambos lados con respecto a $$ x $$:

$$
y = \int (3 x \sin(x) + 5) \, dx
$$

Podemos separar la integral en dos partes:

$$
y = \int 3 x \sin(x) \, dx + \int 5 \, dx
$$

La segunda integral es sencilla:

$$
\int 5 \, dx = 5x + C_1
$$

donde $$ C_1 $$ es una constante de integración.

Ahora, para la primera integral $$ \int 3 x \sin(x) \, dx $$, podemos usar la técnica de integración por partes. Sea:

- $$ u = 3x $$  $$\Rightarrow du = 3 \, dx$$
- $$ dv = \sin(x) \, dx $$  $$\Rightarrow v = -\cos(x)$$

Aplicando la fórmula de integración por partes $$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$:

$$
\int 3x \sin(x) \, dx = 3x (-\cos(x)) - \int -\cos(x) (3 \, dx)
$$
$$
= -3x \cos(x) + 3 \int \cos(x) \, dx
$$
$$
= -3x \cos(x) + 3 \sin(x) + C_2
$$

donde $$ C_2 $$ es otra constante de integración.

Ahora, combinamos ambas partes:

$$
y = -3x \cos(x) + 3 \sin(x) + 5x + C
$$

donde $$ C = C_1 + C_2 $$ es una constante de integración general.

Por lo tanto, la solución general de la EDO es:

$$
y = -3x \cos(x) + 3 \sin(x) + 5x + C
$$

Esta es la solución de la ecuación diferencial dada.
La solución de la EDO es $$ y = -3x \cos(x) + 3 \sin(x) + 5x + C $$, donde $$ C $$ es una constante de integración.

Considere la EDO \( \frac{d y}{d x}=3 x \sin (x)+5 \). Diga cuál de las siguientes es su solución:

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