Question
6. Eine Bakterienart vermehrt sich so, dass sie alle 3 Tage auf das 1,5 -fache anwächst. Nach welcher Zeit sind aus 10 Bak- terien 45 geworden?
Ask by Chen Coleman.
Mar 11,2025 08:05
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Answer
Es dauert etwa 11,1 Tage, bis aus 10 Bakterien 45 geworden sind.
Solution
Wir beschreiben das Wachstum durch die Gleichung
\[
N(t) = 10 \cdot (1,5)^{\frac{t}{3}},
\]
wobei \( t \) die Zeit in Tagen ist und \( N(t) \) die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt \( t \) darstellt.
Gesucht ist der Zeitpunkt \( t \), an dem \( N(t) = 45 \) erreicht wird. Wir setzen also ein:
\[
10 \cdot (1,5)^{\frac{t}{3}} = 45.
\]
Teilen durch 10:
\[
(1,5)^{\frac{t}{3}} = 4,5.
\]
Um die Potenz aufzulösen, wenden wir den Logarithmus an (in diesem Fall den natürlichen Logarithmus):
\[
\ln\Big((1,5)^{\frac{t}{3}}\Big) = \ln(4,5).
\]
Mit der Logarithmusregel \(\ln(a^b)=b\cdot\ln(a)\) erhalten wir:
\[
\frac{t}{3} \cdot \ln(1,5) = \ln(4,5).
\]
Nun nach \( t \) auflösen:
\[
t = 3 \cdot \frac{\ln(4,5)}{\ln(1,5)}.
\]
Diese Formel liefert die exakte Antwort. Für einen Näherungswert setzen wir die Logarithmen ein:
\[
\ln(4,5) \approx 1,5041, \qquad \ln(1,5) \approx 0,4055.
\]
Somit:
\[
t \approx 3 \cdot \frac{1,5041}{0,4055} \approx 3 \cdot 3,708 \approx 11,125.
\]
Also, nach etwa \( 11,1 \) Tagen sind aus 10 Bakterien 45 geworden.
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Nach jedem 3-Tage-Zyklus vermehrt sich die Anzahl der Bakterien um das 1,5-fache. Wenn man mit 10 Bakterien startet, beträgt die Anzahl nach n Zyklen \( N(n) = 10 \times (1,5)^n \). Um genau 45 Bakterien zu erreichen, setzt man die Gleichung \( 10 \times (1,5)^n = 45 \). Wenn man sie löst, findet man, dass \( n = 4 \) Zyklen notwendig sind, was insgesamt 12 Tage dauert.
Denke daran, da Bakterien exponentiell wachsen, ist ihre Vermehrung oft unvorhersehbar! In natürlichen Umgebungen kann die Verdopplungsrate durch Faktoren wie Nahrungsmangel, Temperatur oder Raum begrenzt werden, was die tatsächliche Wachstumsrate stark beeinflussen kann.
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