14 A un'estremità di una molla di peso trascurabile e di lun- ghezza iniziale di \( 18,0 \mathrm{~cm} \) viene agganciato un corpo di massa di \( 4,80 \mathrm{~kg} \), che le fa raggiungere la lunghezza fi- nale di 23 cm . Se alla molla venisse appesa una massa di \( 6,30 \mathrm{~kg} \), quale sarebbe la lunghezza finale della molla? [ \( 24,6 \mathrm{~cm} \) ]
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Per risolvere il problema, possiamo utilizzare la legge di Hooke, che afferma che la forza elastica \( F \) di una molla è proporzionale all'allungamento \( x \) della molla rispetto alla sua lunghezza iniziale. La formula è \( F = k \cdot x \), dove \( k \) è la costante elastica della molla. Iniziamo a calcolare la costante elastica \( k \) usando la massa di \( 4,80 \mathrm{~kg} \) e l'allungamento iniziale: 1. L'allungamento \( x_1 = 23\, \text{cm} - 18\, \text{cm} = 5\, \text{cm} = 0,05\, \text{m} \) 2. La forza peso sul corpo di \( 4,80 \mathrm{~kg} \) è \( F_1 = m \cdot g = 4,80\, \text{kg} \cdot 9,81\, \text{m/s}^2 \approx 47,088\, \text{N} \) 3. Usando la legge di Hooke, otteniamo \( k = \frac{F_1}{x_1} \approx \frac{47,088\, \text{N}}{0,05\, \text{m}} \approx 941,76\, \text{N/m} \) Ora, possiamo calcolare l'allungamento quando appendiamo un corpo di \( 6,30 \mathrm{~kg} \): 1. L'allungamento \( x_2 \) per la massa di \( 6,30 \mathrm{~kg} \) sarà: \[ F_2 = 6,30\, \text{kg} \cdot 9,81\, \text{m/s}^2 \approx 61,83\, \text{N} \] 2. Usando \( k \), calcoliamo \( x_2 = \frac{F_2}{k} \approx \frac{61,83\, \text{N}}{941,76\, \text{N/m}} \approx 0,0657\, \text{m} \, \approx 6,57\, \text{cm} \) La lunghezza finale della molla sarà quindi: \[ L_{finale} = 18\, \text{cm} + 6,57\, \text{cm} \approx 24,57\, \text{cm} \] Poiché la risposta indicata è \( 24,6 \mathrm{~cm} \), possiamo approssimare a questa cifra.
