Question
10) Hallan x, 2^{x-1} * 2^{x+2}+2^{x}=44
Ask by Lee Morrison.
Feb 17,2025 08:50
UpStudy AI Solution
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Answer
La solución es \( x = \log_{2}\left(\frac{\sqrt{353} - 1}{4}\right) \).
Solution
Procedimiento:
Dada la ecuación
2^(x–1) · 2^(x+2) + 2^x = 44,
primero se simplifica el producto de potencias utilizando la propiedad de los exponentes:
2^(x–1) · 2^(x+2) = 2^[(x–1)+(x+2)] = 2^(2x+1).
Así, la ecuación se transforma en
2^(2x+1) + 2^x = 44.
Definamos u = 2^x, lo que nos permite expresar la ecuación en términos de u. Notar que:
2^(2x) = (2^x)^2 = u^2 y 2^(2x+1) = 2·u^2.
Por ello, la ecuación se vuelve:
2u² + u = 44.
Reordenamos y escribimos la ecuación cuadrática:
2u² + u – 44 = 0.
Se resuelve la ecuación cuadrática usando la fórmula general:
u = [–b ± √(b² – 4ac)] / (2a),
donde a = 2, b = 1 y c = –44. Calculamos el discriminante:
Δ = b² – 4ac = 1² – 4·2·(–44) = 1 + 352 = 353.
Entonces:
u = [–1 ± √353] / (2·2) = [–1 ± √353] / 4.
Como u = 2^x y 2^x > 0, se descarta la solución negativa. Así:
u = (–1 + √353) / 4.
Recordando que u = 2^x, se tiene:
2^x = (√353 – 1) / 4.
Para despejar x se aplica logaritmo en base 2:
x = log₂[(√353 – 1) / 4].
Respuesta final:
x = log₂[(√353 – 1) / 4].
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Simplify this solution The Deep Dive
Para resolver la ecuación \( 2^{x-1} \cdot 2^{x+2} + 2^{x} = 44 \), primero simplificamos la expresión \( 2^{x-1} \cdot 2^{x+2} \). Usando la propiedad de exponentes, esto se convierte en \( 2^{(x-1)+(x+2)} = 2^{2x+1} \). Así que reescribimos la ecuación como:
\[ 2^{2x+1} + 2^{x} = 44 \]
Podemos hacer un cambio de variable. Si let \( y = 2^{x} \), entonces \( 2^{2x} = (2^{x})^2 = y^2 \). Ahora, la ecuación se transforma en:
\[ 2y^2 + y - 44 = 0 \]
Ahora, resolvemos esta ecuación cuadrática usando la fórmula general \( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), donde \( a = 2 \), \( b = 1 \) y \( c = -44 \). Calculamos el discriminante y finalmente los valores de \( y \), y luego regresamos a \( x \) usando \( y = 2^{x} \). ¡Sigue los pasos y obtendrás el valor de \( x \)!
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