Considere la EDO $$ \frac{d y}{d x}=x \sqrt{x^{2}+1} $$. Diga cuál de las siguientes es su solución:

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Para resolver la ecuación diferencial ordinaria (EDO) $$ \frac{d y}{d x} = x \sqrt{x^{2}+1} $$, podemos integrar ambos lados con respecto a $$ x $$.

La integral que necesitamos calcular es:

$$
y = \int x \sqrt{x^{2}+1} \, dx
$$

Para resolver esta integral, podemos usar la técnica de sustitución. Sea $$ u = x^2 + 1 $$, entonces $$ du = 2x \, dx $$ o $$ \frac{du}{2} = x \, dx $$.

Sustituyendo en la integral, tenemos:

$$
y = \int x \sqrt{x^{2}+1} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du
$$

Ahora, integramos:

$$
\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{1}{3} u^{3/2} + C
$$

Sustituyendo $$ u = x^2 + 1 $$ de nuevo, obtenemos:

$$
y = \frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C
$$

Por lo tanto, la solución general de la EDO $$ \frac{d y}{d x} = x \sqrt{x^{2}+1} $$ es:

$$
y = \frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C
$$

donde $$ C $$ es una constante de integración.
La solución de la EDO $$ \frac{d y}{d x} = x \sqrt{x^{2}+1} $$ es $$ y = \frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C $$, donde $$ C $$ es una constante de integración.

Considere la EDO \( \frac{d y}{d x}=x \sqrt{x^{2}+1} \). Diga cuál de las siguientes es su solución:

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