1. Решите неравенство: $$ \log _{2 x} 0,25 \leqslant \log _{2} 32 x-1 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$x$$:
  $$\frac{0.25}{2x}=\frac{\left(32x-1\right)}{2}$$
- step1: Find the domain:
  $$\frac{0.25}{2x}=\frac{\left(32x-1\right)}{2},x\neq 0$$
- step2: Remove the parentheses:
  $$\frac{0.25}{2x}=\frac{32x-1}{2}$$
- step3: Divide the terms:
  $$\frac{1}{8x}=\frac{32x-1}{2}$$
- step4: Cross multiply:
  $$2=8x\left(32x-1\right)$$
- step5: Rewrite the expression:
  $$2=2\times 4x\left(32x-1\right)$$
- step6: Evaluate:
  $$1=4x\left(32x-1\right)$$
- step7: Swap the sides:
  $$4x\left(32x-1\right)=1$$
- step8: Expand the expression:
  $$128x^{2}-4x=1$$
- step9: Move the expression to the left side:
  $$128x^{2}-4x-1=0$$
- step10: Solve using the quadratic formula:
  $$x=\frac{4\pm \sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 128\left(-1\right)}}{2\times 128}$$
- step11: Simplify the expression:
  $$x=\frac{4\pm \sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 128\left(-1\right)}}{256}$$
- step12: Simplify the expression:
  $$x=\frac{4\pm \sqrt{528}}{256}$$
- step13: Simplify the expression:
  $$x=\frac{4\pm 4\sqrt{33}}{256}$$
- step14: Separate into possible cases:
  $$\begin{align}&x=\frac{4+4\sqrt{33}}{256}\&x=\frac{4-4\sqrt{33}}{256}\end{align}$$
- step15: Simplify the expression:
  $$\begin{align}&x=\frac{1+\sqrt{33}}{64}\&x=\frac{4-4\sqrt{33}}{256}\end{align}$$
- step16: Simplify the expression:
  $$\begin{align}&x=\frac{1+\sqrt{33}}{64}\&x=\frac{1-\sqrt{33}}{64}\end{align}$$
- step17: Check if the solution is in the defined range:
  $$\begin{align}&x=\frac{1+\sqrt{33}}{64}\&x=\frac{1-\sqrt{33}}{64}\end{align},x\neq 0$$
- step18: Find the intersection:
  $$\begin{align}&x=\frac{1+\sqrt{33}}{64}\&x=\frac{1-\sqrt{33}}{64}\end{align}$$
- step19: Rewrite:
  $$x_{1}=\frac{1-\sqrt{33}}{64},x_{2}=\frac{1+\sqrt{33}}{64}$$
Solve the equation $$ \frac{\text{\log}(0.25)}{\text{\log}(2)} = \frac{\text{\log}(32x-1)}{\text{\log}(2)} $$.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$x$$:
  $$\frac{0.25}{2}=\frac{\left(32x-1\right)}{2}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{0.25}{2}=\frac{32x-1}{2}$$
- step2: Divide the terms:
  $$\frac{1}{8}=\frac{32x-1}{2}$$
- step3: Swap the sides:
  $$\frac{32x-1}{2}=\frac{1}{8}$$
- step4: Multiply both sides of the equation by $$2:$$
  $$\frac{32x-1}{2}\times 2=\frac{1}{8}\times 2$$
- step5: Multiply the terms:
  $$32x-1=\frac{2}{8}$$
- step6: Evaluate:
  $$32x-1=\frac{1}{4}$$
- step7: Move the constant to the right side:
  $$32x=\frac{1}{4}+1$$
- step8: Add the numbers:
  $$32x=\frac{5}{4}$$
- step9: Multiply by the reciprocal:
  $$32x\times \frac{1}{32}=\frac{5}{4}\times \frac{1}{32}$$
- step10: Multiply:
  $$x=\frac{5}{128}$$
Solve the equation $$ 2x > 0 $$.
Solve the inequality by following steps:
- step0: Solve for $$x$$:
  $$2x>0$$
- step1: Rewrite the expression:
  $$x>0$$
Solve the equation $$ 32x-1=0 $$.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$x$$:
  $$32x-1=0$$
- step1: Move the constant to the right side:
  $$32x=0+1$$
- step2: Remove 0:
  $$32x=1$$
- step3: Divide both sides:
  $$\frac{32x}{32}=\frac{1}{32}$$
- step4: Divide the numbers:
  $$x=\frac{1}{32}$$
Давайте решим неравенство $$ \log_{2x} 0,25 \leqslant \log_{2} (32x-1) $$ шаг за шагом.

### Шаг 1: Преобразование логарифмов

Сначала преобразуем логарифмы. Мы знаем, что $$ 0.25 = \frac{1}{4} = 2^{-2} $$, поэтому:

$$
\log_{2}(0.25) = -2
$$

Теперь у нас есть:

$$
\log_{2x}(0.25) = \frac{\log_{2}(0.25)}{\log_{2}(2x)} = \frac{-2}{\log_{2}(2) + \log_{2}(x)} = \frac{-2}{1 + \log_{2}(x)}
$$

Теперь неравенство выглядит так:

$$
\frac{-2}{1 + \log_{2}(x)} \leqslant \log_{2}(32x-1)
$$

### Шаг 2: Решение уравнения

Теперь решим уравнение $$ 32x - 1 = 0 $$:

$$
32x - 1 = 0 \implies 32x = 1 \implies x = \frac{1}{32}
$$

### Шаг 3: Условия для логарифмов

Логарифм определен только для положительных значений, поэтому:

1. $$ 2x > 0 \implies x > 0 $$
2. $$ 32x - 1 > 0 \implies x > \frac{1}{32} $$

### Шаг 4: Объединение условий

Теперь у нас есть два условия:

1. $$ x > 0 $$
2. $$ x > \frac{1}{32} $$

Наиболее строгим условием является $$ x > \frac{1}{32} $$.

### Шаг 5: Итоговое решение

Таким образом, решение неравенства $$ \log_{2x} 0,25 \leqslant \log_{2} (32x-1) $$ будет:

$$
x > \frac{1}{32}
$$

Это означает, что все значения $$ x $$, которые больше $$ \frac{1}{32} $$, удовлетворяют данному неравенству.
Решение неравенства $$ \log_{2x} 0,25 \leqslant \log_{2} (32x-1) $$ дает ответ: $$ x > \frac{1}{32} $$.

Решите неравенство:

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Algebra Questions