(4) Si \( B(x)=\frac{\cos 2 x+\operatorname{sen}^{2} x}{1-\cos ^{2} x} ; C(x)=\cot ^{2} x \quad D(x)=\cos x \) a) Denuestre que \( B(x)=C(x) \)

Para demostrar que \( B(x) = C(x) \), donde: \[ B(x) = \frac{\cos 2x + \sin^2 x}{1 - \cos^2 x} \quad \text{y} \quad C(x) = \cot^2 x, \] seguimos los siguientes pasos: 1. **Simplificar el denominador de \( B(x) \):** Sabemos que: \[ 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \] Por lo tanto, el denominador de \( B(x) \) se simplifica a: \[ 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \] 2. **Expresar \( \cos 2x \) en términos de \( \sin^2 x \):** Utilizamos la identidad trigonométrica: \[ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \] Sustituyendo esta identidad en el numerador de \( B(x) \): \[ \cos 2x + \sin^2 x = (1 - 2\sin^2 x) + \sin^2 x = 1 - \sin^2 x \] 3. **Reescribir \( B(x) \) con las simplificaciones realizadas:** Ahora, tenemos: \[ B(x) = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} \] Dado que \( 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \): \[ B(x) = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \] 4. **Relacionar con \( C(x) = \cot^2 x \):** Sabemos que: \[ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \quad \Rightarrow \quad \cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \] Por lo tanto: \[ B(x) = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x = C(x) \] **Conclusión:** Hemos demostrado que \( B(x) = C(x) \): \[ \frac{\cos 2x + \sin^2 x}{1 - \cos^2 x} = \cot^2 x \]