1) a) Comparer \( 5 \sqrt{3} \) et \( 6 \sqrt{2} \) b) Déduire la comparaison de \( \frac{1}{5 \sqrt{3}-2} \) et \( \frac{1}{6 \sqrt{2}-2} \) 2) \( x \) et \( y \) deux nombres réels tel que : \( \sqrt{3} \leq \sqrt{2 x-1} \leq \sqrt{5} \) et \( -\frac{13}{2} \leq \frac{2 y-3}{2} \leq-\frac{7}{2} \) a) Montrer que \( 2 \leq x \leq 3 \) et \( -5 \leq y \leq-2 \) b) Encadrer : \( \quad 2 x-y \quad \);; \( x y \quad ; ; x^{2}+y^{2}+3 \) c) Sachant que \( 4 x+y=8 \), Calculer \( H=\sqrt{(8 x-4)^{2}}-\sqrt{(2 y+4)^{2}}+3 \)

Pour comparer \( 5 \sqrt{3} \) et \( 6 \sqrt{2} \), nous pouvons élever les deux côtés au carré pour éviter les racines. On obtient \( 75 \) pour \( (5 \sqrt{3})^2 \) et \( 72 \) pour \( (6 \sqrt{2})^2 \). Ainsi, \( 5 \sqrt{3} > 6 \sqrt{2} \). Cette comparaison nous permet de déduire que \( \frac{1}{5 \sqrt{3}-2} < \frac{1}{6 \sqrt{2}-2} \), puisque le dénominateur de la première fraction est plus grand, rendant la fraction plus petite. Pour la seconde question, en appliquant les bornes de \( \sqrt{2x-1} \), nous avons \( 3 \leq 2x - 1 \leq 5 \). En ajoutant 1 et divisant par 2, nous déduisons que \( 2 \leq x \leq 3 \). Pour \( y \), en multipliant par 2 et ajoutant 3, on trouve \( -5 \leq 2y \leq -2 \), ce qui donne \( -5 \leq y \leq -2 \). Donc, \( x \) et \( y \) sont bien encadrés.