Solent \( a \) et \( b \) deux nombres réels tels que \( 4 \leq a \leq 7 \) et \( -2 \leq b \leq-1 \) Montrer que: \( -14 \leq a b \leq-4 \) Montrer que: \( -7 \leq \frac{a}{b} \leq-2 \)

Pour démontrer que \( -14 \leq ab \leq -4 \), commençons par examiner les limites des produits possibles de \( a \) et \( b \). 1. Les valeurs de \( a \) sont comprises entre 4 et 7, tandis que \( b \) est entre -2 et -1. Cela signifie que, pour maximiser le produit \( ab \), nous devons multiplier la valeur maximale de \( a \) (7) par la valeur minimale de \( b \) (-2) : \[ ab_{\text{max}} = 7 \times (-1) = -7 \] 2. Pour le produit minimum, nous multiplions la valeur minimale de \( a \) (4) par la valeur maximale de \( b \) (-1) : \[ ab_{\text{min}} = 4 \times (-2) = -8 \] Ainsi, le produit \( ab \) peut varier de \( -8 \) à \( -7 \). Mais nous devons alors corriger cela. En fait, le maximum du produit se produit lorsque \( a = 4 \) et \( b = -1 \) qui donne \( ab = -4 \), et le minimum avec \( a = 7 \) et \( b = -2 \) qui donne \( ab = -14 \). Par conséquent, nous avons bien \( -14 \leq ab \leq -4 \). Pour la deuxième partie, montrons que \( -7 \leq \frac{a}{b} \leq -2 \). 1. Pour \( \frac{a}{b} \), nous avons \( a \) positif et \( b \) négatif, donc \( \frac{a}{b} \) sera toujours négatif. 2. Pour obtenir le maximum (qui est le moins négatif), nous utilisons la valeur minimale de \( b \) (-1) et la valeur maximale de \( a \) (7): \[ \frac{a}{b} = \frac{7}{-1} = -7 \] 3. Pour le minimum (le plus négatif), nous utilisons la valeur maximale de \( b \) (-2) et la valeur minimale de \( a \) (4): \[ \frac{a}{b} = \frac{4}{-2} = -2 \] Ainsi, nous avons \( -7 \leq \frac{a}{b} \leq -2 \) qui conclut le raisonnement.