7. (1.5pts each) The series $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{n^{2}} ight) $$ is a convergent alternating series. It can be shown that the $$ 5^{ ext {th }} $$ partial sum of this series is $$ -\frac{3019}{3600} $$. a) Determine an upper bound on the error of this approximation of the actual sum of the series. b) What is the first partial sum of this series that we can guarantee is within $$ 1 / 100 $$ ?

Question

7. (1.5pts each) The series $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}ight) $$ is a convergent alternating series. It can be shown that the $$ 5^{	ext {th }} $$ partial sum of this series is $$ -\frac{3019}{3600} $$. a) Determine an upper bound on the error of this approximation of the actual sum of the series. b) What is the first partial sum of this series that we can guarantee is within $$ 1 / 100 $$ ?

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为了求解这个问题，我们需要使用交错级数的误差估计公式。具体步骤如下：

### a) 确定误差的上界

1. **确定交错级数的条件**：
   - 给定的级数是 $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right) $$。
   - 这是一个交错级数，因为项的符号交替变化。

2. **使用交错级数的误差估计公式**：
   - 交错级数的误差估计公式为：$$ \left| R_n \right| \leq a_{n+1} $$
   - 其中 $$ a_{n+1} $$ 是第 $$ n+1 $$ 项的绝对值。

3. **确定第 5 项的绝对值**：
   - 第 5 项是 $$ a_6 = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} $$。

4. **计算误差的上界**：
   - 因此，误差的上界为：$$ \left| R_5 \right| \leq \frac{1}{36} $$

### b) 确定误差在 $$ \frac{1}{100} $$ 内的第一个部分和

1. **使用误差估计公式**：
   - 我们需要找到一个 $$ n $$，使得 $$ a_{n+1} < \frac{1}{100} $$。

2. **计算 $$ a_{n+1} $$ 的值**：
   - $$ a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)^2} $$。

3. **解不等式**：
   - 我们需要解以下不等式：$$ \frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{100} $$
   - 交叉相乘得到：$$ 100 < (n+1)^2 $$
   - 取平方根：$$ \sqrt{100} < n+1 $$
   - 即：$$ 10 < n+1 $$
   - 所以：$$ n > 9 $$

4. **确定 $$ n $$ 的值**：
   - 因为 $$ n $$ 必须是整数，所以 $$ n $$ 的最小值为 10。

5. **计算第一个部分和**：
   - 第 10 个部分和为：$$ S_{10} = \sum_{n=1}^{10} \left( \frac{(-1)^n}{n^2} \right) $$

### 总结

a) 误差的上界为 $$ \frac{1}{36} $$。

b) 第一个部分和 $$ S_{10} $$ 可以保证误差在 $$ \frac{1}{100} $$ 内。
a) 误差的上界为 $$ \frac{1}{36} $$。 b) 第一个部分和 $$ S_{10} $$ 可以保证误差在 $$ \frac{1}{100} $$ 内。

(1.5pts each) The series is a convergent alternating series. It can be shown that the
partial sum of this series is .
a) Determine an upper bound on the error of this approximation of the actual sum of the series.
b) What is the first partial sum of this series that we can guarantee is within ?

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(1.5pts each) The series is a convergent alternating series. It can be shown that the partial sum of this series is . a) Determine an upper bound on the error of this approximation of the actual sum of the series. b) What is the first partial sum of this series that we can guarantee is within ?