Con ayudad del TEOREMA DEL RESTO y RUFININ. factoricce el siguiente polinomio. \[ 2 \mathrm{x}^{3}-7 x^{2}+8 x-3 \]

Para factorizar el polinomio \( 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 \) utilizando el **Teorema del Resto** y el **Método de Ruffini**, seguiremos los siguientes pasos: ### 1. Encontrar una raíz racional Según el **Teorema del Resto**, si \( c \) es una raíz del polinomio \( P(x) \), entonces \( P(c) = 0 \). Para encontrar posibles raíces racionales, utilizamos el **Teorema de las raíces racionales**, que nos indica que las raíces pueden ser de la forma \( \frac{p}{q} \), donde: - \( p \) es un divisor del término independiente (-3). - \( q \) es un divisor del coeficiente principal (2). Los posibles valores de \( \frac{p}{q} \) son: \[ \pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2} \] Probaremos estos valores en el polinomio. #### Evaluación de \( x = 1 \): \[ P(1) = 2(1)^3 - 7(1)^2 + 8(1) - 3 = 2 - 7 + 8 - 3 = 0 \] Como \( P(1) = 0 \), entonces \( x = 1 \) es una raíz y \( (x - 1) \) es un factor del polinomio. ### 2. Aplicar el Método de Ruffini Dividimos el polinomio entre \( (x - 1) \) usando Ruffini. **Coeficientes del polinomio:** \[ 2 \quad -7 \quad 8 \quad -3 \] **Proceso de Ruffini:** \[ \begin{array}{c|cccc} 1 & 2 & -7 & 8 & -3 \\ \hline & & 2 & -5 & 3 \\ \hline & 2 & -5 & 3 & 0 \\ \end{array} \] - Bajamos el 2. - Multiplicamos 2 por 1 y sumamos con -7: \( 2 \times 1 = 2 \), luego \( -7 + 2 = -5 \). - Multiplicamos -5 por 1 y sumamos con 8: \( -5 \times 1 = -5 \), luego \( 8 + (-5) = 3 \). - Multiplicamos 3 por 1 y sumamos con -3: \( 3 \times 1 = 3 \), luego \( -3 + 3 = 0 \). El resultado de la división es: \[ 2x^2 - 5x + 3 \] ### 3. Factorizar el trinomio obtenido Ahora, factorizamos el polinomio cuadrático \( 2x^2 - 5x + 3 \). Buscamos dos números que multiplicados den \( 2 \times 3 = 6 \) y que sumados den \( -5 \). Estos números son \( -2 \) y \( -3 \). Reescribimos el trinomio: \[ 2x^2 - 2x - 3x + 3 \] Agrupamos: \[ (2x^2 - 2x) + (-3x + 3) \] \[ 2x(x - 1) - 3(x - 1) \] \[ (2x - 3)(x - 1) \] ### 4. Factorización completa Por lo tanto, el polinomio original se puede factorizar como: \[ (x - 1)(2x - 3)(x - 1) \] O de forma simplificada: \[ (x - 1)^2 (2x - 3) \] **Factorización final:** \[ 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = (x - 1)^2 (2x - 3) \]