Con ayudad del TEOREMA DEL RESTO y RUFININ. factoricce el siguiente polinomio. $$ 2 \mathrm{x}^{3}-7 x^{2}+8 x-3 $$

Question

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Para factorizar el polinomio $$ 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 $$ utilizando el **Teorema del Resto** y el **Método de Ruffini**, seguiremos los siguientes pasos:

### 1. Encontrar una raíz racional

Según el **Teorema del Resto**, si $$ c $$ es una raíz del polinomio $$ P(x) $$, entonces $$ P(c) = 0 $$. Para encontrar posibles raíces racionales, utilizamos el **Teorema de las raíces racionales**, que nos indica que las raíces pueden ser de la forma $$ \frac{p}{q} $$, donde:
- $$ p $$ es un divisor del término independiente (-3).
- $$ q $$ es un divisor del coeficiente principal (2).

Los posibles valores de $$ \frac{p}{q} $$ son:
$$ \pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2} $$

Probaremos estos valores en el polinomio.

#### Evaluación de $$ x = 1 $$:
$$ P(1) = 2(1)^3 - 7(1)^2 + 8(1) - 3 = 2 - 7 + 8 - 3 = 0 $$

Como $$ P(1) = 0 $$, entonces $$ x = 1 $$ es una raíz y $$ (x - 1) $$ es un factor del polinomio.

### 2. Aplicar el Método de Ruffini

Dividimos el polinomio entre $$ (x - 1) $$ usando Ruffini.

**Coeficientes del polinomio:**
$$ 2 \quad -7 \quad 8 \quad -3 $$

**Proceso de Ruffini:**
$$
\begin{array}{c|cccc}
1 & 2 & -7 & 8 & -3 \
\hline
 &  & 2 & -5 & 3 \
\hline
 & 2 & -5 & 3 & 0 \
\end{array}
$$
- Bajamos el 2.
- Multiplicamos 2 por 1 y sumamos con -7: $$ 2 \times 1 = 2 $$, luego $$ -7 + 2 = -5 $$.
- Multiplicamos -5 por 1 y sumamos con 8: $$ -5 \times 1 = -5 $$, luego $$ 8 + (-5) = 3 $$.
- Multiplicamos 3 por 1 y sumamos con -3: $$ 3 \times 1 = 3 $$, luego $$ -3 + 3 = 0 $$.

El resultado de la división es:
$$ 2x^2 - 5x + 3 $$

### 3. Factorizar el trinomio obtenido

Ahora, factorizamos el polinomio cuadrático $$ 2x^2 - 5x + 3 $$.

Buscamos dos números que multiplicados den $$ 2 \times 3 = 6 $$ y que sumados den $$ -5 $$. Estos números son $$ -2 $$ y $$ -3 $$.

Reescribimos el trinomio:
$$ 2x^2 - 2x - 3x + 3 $$

Agrupamos:
$$ (2x^2 - 2x) + (-3x + 3) $$
$$ 2x(x - 1) - 3(x - 1) $$
$$ (2x - 3)(x - 1) $$

### 4. Factorización completa

Por lo tanto, el polinomio original se puede factorizar como:
$$ (x - 1)(2x - 3)(x - 1) $$
O de forma simplificada:
$$ (x - 1)^2 (2x - 3) $$

**Factorización final:**
$$ 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = (x - 1)^2 (2x - 3) $$
El polinomio $$ 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 $$ se puede factorizar como $$ (x - 1)^2 (2x - 3) $$.

Con ayudad del TEOREMA DEL RESTO y RUFININ. factoricce el siguiente polinomio.

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