11. Si $$ x $$ y y son enteros positivos, encuentra los valores que satisfagan siguiente ecuación $$ x^{2}-9 y^{2}=43 $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para encontrar los enteros positivos $$ x $$ e $$ y $$ que satisfacen la ecuación:

$$
x^{2} - 9 y^{2} = 43
$$

seguimos los siguientes pasos:

### 1. Reescribir la Ecuación
Reescribimos la ecuación de la siguiente manera:

$$
x^{2} = 9 y^{2} + 43
$$

### 2. Analizar Módulos
Observamos la ecuación módulo 9 para encontrar posibles valores de $$ x $$.

$$
x^{2} \equiv 43 \mod 9
$$

Calculamos $$ 43 \mod 9 $$:

$$
43 \div 9 = 4 \quad \text{(residuo 7)}
$$

Por lo tanto:

$$
x^{2} \equiv 7 \mod 9
$$

Ahora, encontramos los posibles residuos cuadráticos módulo 9:

$$
\begin{align*}
0^{2} &\equiv 0 \mod 9 \
1^{2} &\equiv 1 \mod 9 \
2^{2} &\equiv 4 \mod 9 \
3^{2} &\equiv 0 \mod 9 \
4^{2} &\equiv 7 \mod 9 \
5^{2} &\equiv 7 \mod 9 \
6^{2} &\equiv 0 \mod 9 \
7^{2} &\equiv 4 \mod 9 \
8^{2} &\equiv 1 \mod 9 \
\end{align*}
$$

Vemos que $$ x^{2} \equiv 7 \mod 9 $$ solo es posible si $$ x \equiv 4 $$ o $$ x \equiv 5 \mod 9 $$. Por lo tanto, podemos expresar $$ x $$ como:

$$
x = 9k + 4 \quad \text{o} \quad x = 9k + 5 \quad \text{donde } k \text{ es un entero positivo}
$$

### 3. Usar la Propiedad de la Diferencia de Cuadrados
La ecuación original es una diferencia de cuadrados:

$$
x^{2} - (3y)^{2} = 43 \implies (x - 3y)(x + 3y) = 43
$$

Dado que 43 es un número primo, las únicas posibles parejas de factores positivos son $$ (1, 43) $$. Así:

$$
\begin{cases}
x - 3y = 1 \
x + 3y = 43 \
\end{cases}
$$

### 4. Resolver el Sistema de Ecuaciones
Sumamos las dos ecuaciones para eliminar $$ y $$:

$$
(x - 3y) + (x + 3y) = 1 + 43 \implies 2x = 44 \implies x = 22
$$

Sustituimos $$ x = 22 $$ en una de las ecuaciones originales:

$$
22 - 3y = 1 \implies 3y = 21 \implies y = 7
$$

### 5. Verificar la Solución
Comprobamos que $$ x = 22 $$ e $$ y = 7 $$ satisfacen la ecuación original:

$$
22^{2} - 9 \times 7^{2} = 484 - 441 = 43
$$

### **Conclusión**

La única solución en enteros positivos es:

$$
\boxed{(x, y) = (22,\,7)}
$$
La única solución es $$ x = 22 $$ y $$ y = 7 $$.

11. Si \( x \) y y son enteros positivos, encuentra los valores que satisfagan siguiente ecuación \( x^{2}-9 y^{2}=43 \).

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Algebra Questions