17 Точка $$ P $$ лежит на стороне $$ A C $$ равностороннего треугольника $$ A B C $$. Окружность с диа- метром $$ B P $$ пересекает стороны $$ A B $$ и $$ B C $$ в точках $$ M $$ и $$ N $$ соответственно. Хорды $$ M F $$ и $$ N E $$ параллельны прямой $$ B P $$. Отрезки $$ F P $$ и $$ E P $$ пересекают стороны $$ A B $$ и $$ B C $$ в точках $$ T $$ и $$ S $$ соответственно. а) Докажите, что треугольники $$ A P T $$ и $$ C S P $$ подобны. б) Найдите отношение, в котором точка $$ P $$ делит отрезок $$ A C $$, если площади треугольни- ков $$ A P T $$ и $$ C S P $$ относятся как $$ 49: 121 $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Для решения задачи, давайте разберем ее по частям.

### Часть а)

**Доказательство подобия треугольников $$ APT $$ и $$ CSP $$**

1. **Параллельные линии**: Хорды $$ MF $$ и $$ NE $$ параллельны прямой $$ BP $$. Это означает, что углы, образованные этими линиями и секущими $$ AB $$ и $$ BC $$, равны. То есть:
   $$
   \angle APT = \angle CSP
   $$
   (углы, образованные параллельными линиями и секущими).

2. **Общий угол**: Углы $$ \angle APB $$ и $$ \angle CPE $$ являются вертикальными углами, следовательно:
   $$
   \angle APB = \angle CPE
   $$

3. **Сравнение углов**: Таким образом, мы имеем:
   $$
   \angle APT = \angle CSP \quad \text{и} \quad \angle APB = \angle CPE
   $$

4. **Заключение**: По двум углам (углы $$ APT $$ и $$ CSP $$ равны) треугольники $$ APT $$ и $$ CSP $$ подобны:
   $$
   \triangle APT \sim \triangle CSP
   $$

### Часть б)

**Нахождение отношения, в котором точка $$ P $$ делит отрезок $$ AC $$**

Пусть $$ AP = k \cdot AC $$ и $$ PC = (1-k) \cdot AC $$, где $$ k $$ — это отношение, в котором точка $$ P $$ делит отрезок $$ AC $$.

Согласно условию, площади треугольников $$ APT $$ и $$ CSP $$ относятся как $$ 49:121 $$. Поскольку площади треугольников пропорциональны квадратам соответствующих сторон, мы можем записать:
$$
\frac{S_{APT}}{S_{CSP}} = \frac{AP^2}{PC^2} = \frac{49}{121}
$$

Подставим $$ AP $$ и $$ PC $$:
$$
\frac{(k \cdot AC)^2}{((1-k) \cdot AC)^2} = \frac{49}{121}
$$

Упрощая, получаем:
$$
\frac{k^2}{(1-k)^2} = \frac{49}{121}
$$

Теперь возьмем корень из обеих сторон:
$$
\frac{k}{1-k} = \frac{7}{11}
$$

Решим это уравнение:
$$
11k = 7(1-k)
$$
$$
11k = 7 - 7k
$$
$$
11k + 7k = 7
$$
$$
18k = 7
$$
$$
k = \frac{7}{18}
$$

Таким образом, точка $$ P $$ делит отрезок $$ AC $$ в отношении $$ 7:11 $$.

### Ответ

а) Треугольники $$ APT $$ и $$ CSP $$ подобны.  
б) Точка $$ P $$ делит отрезок $$ AC $$ в отношении $$ 7:11 $$.
а) Треугольники $$ APT $$ и $$ CSP $$ подобны. б) Точка $$ P $$ делит отрезок $$ AC $$ в отношении $$ 7:11 $$.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Geometry Questions