1. Determinar el error absoluto $$ y $$ el error relativo porcentual cometido al aproximar $$ f(0.1) $$ con dos términos de La correspondiente serie de Maclauria para $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-2}} $$

Question

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Para resolver el problema, primero necesitamos determinar la función $$ f(x) $$ y luego calcular su aproximación utilizando la serie de Maclaurin. La función dada es:

$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 2x}}
$$

### Paso 1: Calcular la serie de Maclaurin

La serie de Maclaurin de una función $$ f(x) $$ se puede expresar como:

$$
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \ldots
$$

Primero, calculamos $$ f(0) $$:

$$
f(0) = \frac{1}{\sqrt{1 - 2 \cdot 0}} = 1
$$

Ahora, necesitamos calcular las derivadas de $$ f(x) $$ en $$ x = 0 $$.

### Paso 2: Calcular las derivadas

1. **Primera derivada** $$ f'(x) $$:

$$
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( (1 - 2x)^{-1/2} \right) = \frac{1}{2}(1 - 2x)^{-3/2} \cdot (-2) = (1 - 2x)^{-3/2}
$$

Calculamos $$ f'(0) $$:

$$
f'(0) = (1 - 2 \cdot 0)^{-3/2} = 1
$$

2. **Segunda derivada** $$ f''(x) $$:

$$
f''(x) = \frac{d}{dx} \left( (1 - 2x)^{-3/2} \right) = \frac{3}{2}(1 - 2x)^{-5/2} \cdot (-2) = 3(1 - 2x)^{-5/2}
$$

Calculamos $$ f''(0) $$:

$$
f''(0) = 3(1 - 2 \cdot 0)^{-5/2} = 3
$$

### Paso 3: Construir la serie de Maclaurin hasta el segundo término

Ahora podemos escribir la serie de Maclaurin hasta el segundo término:

$$
f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 = 1 + 1 \cdot x + \frac{3}{2}x^2
$$

Por lo tanto, la aproximación de $$ f(x) $$ es:

$$
f(x) \approx 1 + x + \frac{3}{2}x^2
$$

### Paso 4: Evaluar $$ f(0.1) $$

Sustituyendo $$ x = 0.1 $$:

$$
f(0.1) \approx 1 + 0.1 + \frac{3}{2}(0.1)^2 = 1 + 0.1 + \frac{3}{2}(0.01) = 1 + 0.1 + 0.015 = 1.115
$$

### Paso 5: Calcular el valor exacto de $$ f(0.1) $$

Ahora calculamos el valor exacto de $$ f(0.1) $$:

$$
f(0.1) = \frac{1}{\sqrt{1 - 2 \cdot 0.1}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.2}} = \frac{1}{\sqrt{0.8}} = \frac{1}{\sqrt{0.8}} \approx 1.118
$$

### Paso 6: Calcular el error absoluto y el error relativo porcentual

1. **Error absoluto** $$ E_a $$:

$$
E_a = |f(0.1)_{\text{exacto}} - f(0.1)_{\text{aproximado}}| = |1.118 - 1.115| = 0.003
$$

2. **Error relativo porcentual** $$ E_r $$:

$$
E_r = \left( \frac{E_a}{|f(0.1)_{\text{exacto}}|} \right) \times 100 = \left( \frac{0.003}{1.118} \right) \times 100 \approx 0.268\%
$$

### Resumen de resultados

- **Error absoluto**: $$ E_a \approx 0.003 $$
- **Error relativo porcentual**: $$ E_r \approx 0.268\% $$
El error absoluto es 0.003 y el error relativo porcentual es aproximadamente 0.268%.

Determinar el error absoluto el error relativo porcentual cometido al aproximar con dos términos de La correspondiente serie de Maclauria para

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