Answer
El error absoluto es 0.003 y el error relativo porcentual es aproximadamente 0.268%.
Solution
Para resolver el problema, primero necesitamos determinar la función \( f(x) \) y luego calcular su aproximación utilizando la serie de Maclaurin. La función dada es:
\[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 2x}}
\]
### Paso 1: Calcular la serie de Maclaurin
La serie de Maclaurin de una función \( f(x) \) se puede expresar como:
\[
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \ldots
\]
Primero, calculamos \( f(0) \):
\[
f(0) = \frac{1}{\sqrt{1 - 2 \cdot 0}} = 1
\]
Ahora, necesitamos calcular las derivadas de \( f(x) \) en \( x = 0 \).
### Paso 2: Calcular las derivadas
1. **Primera derivada** \( f'(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( (1 - 2x)^{-1/2} \right) = \frac{1}{2}(1 - 2x)^{-3/2} \cdot (-2) = (1 - 2x)^{-3/2}
\]
Calculamos \( f'(0) \):
\[
f'(0) = (1 - 2 \cdot 0)^{-3/2} = 1
\]
2. **Segunda derivada** \( f''(x) \):
\[
f''(x) = \frac{d}{dx} \left( (1 - 2x)^{-3/2} \right) = \frac{3}{2}(1 - 2x)^{-5/2} \cdot (-2) = 3(1 - 2x)^{-5/2}
\]
Calculamos \( f''(0) \):
\[
f''(0) = 3(1 - 2 \cdot 0)^{-5/2} = 3
\]
### Paso 3: Construir la serie de Maclaurin hasta el segundo término
Ahora podemos escribir la serie de Maclaurin hasta el segundo término:
\[
f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 = 1 + 1 \cdot x + \frac{3}{2}x^2
\]
Por lo tanto, la aproximación de \( f(x) \) es:
\[
f(x) \approx 1 + x + \frac{3}{2}x^2
\]
### Paso 4: Evaluar \( f(0.1) \)
Sustituyendo \( x = 0.1 \):
\[
f(0.1) \approx 1 + 0.1 + \frac{3}{2}(0.1)^2 = 1 + 0.1 + \frac{3}{2}(0.01) = 1 + 0.1 + 0.015 = 1.115
\]
### Paso 5: Calcular el valor exacto de \( f(0.1) \)
Ahora calculamos el valor exacto de \( f(0.1) \):
\[
f(0.1) = \frac{1}{\sqrt{1 - 2 \cdot 0.1}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.2}} = \frac{1}{\sqrt{0.8}} = \frac{1}{\sqrt{0.8}} \approx 1.118
\]
### Paso 6: Calcular el error absoluto y el error relativo porcentual
1. **Error absoluto** \( E_a \):
\[
E_a = |f(0.1)_{\text{exacto}} - f(0.1)_{\text{aproximado}}| = |1.118 - 1.115| = 0.003
\]
2. **Error relativo porcentual** \( E_r \):
\[
E_r = \left( \frac{E_a}{|f(0.1)_{\text{exacto}}|} \right) \times 100 = \left( \frac{0.003}{1.118} \right) \times 100 \approx 0.268\%
\]
### Resumen de resultados
- **Error absoluto**: \( E_a \approx 0.003 \)
- **Error relativo porcentual**: \( E_r \approx 0.268\% \)
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