My MB über mathebattle Hilfe News Aufgabe: \( (2 \) Punkte \( ) \) Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen E: \( 6 x_{1}-3 x_{2}-6 x_{3}=12 \) und F: \( -12 x_{1}+6 x_{2}+12 x_{3}=-24 \) Berechne ggf. den Abstand. Ebenen sind identisch Eingelog BL-EG Ebenen sind parallel, Abstand der parallelen Ebenen d \( = \) Ebenen schneiden sich

Um die gegenseitige Lage der beiden Ebenen \( E \) und \( F \) zu untersuchen, gehen wir wie folgt vor: **Gegebene Ebenen:** \[ E: 6x_{1} - 3x_{2} - 6x_{3} = 12 \] \[ F: -12x_{1} + 6x_{2} + 12x_{3} = -24 \] **Schritt 1: Überprüfung auf Parallelität oder Identität** - **Vergleich der Normalenvektoren:** - Normalenvektor von \( E \): \( \vec{n}_E = (6, -3, -6) \) - Normalenvektor von \( F \): \( \vec{n}_F = (-12, 6, 12) \) - **Verhältnis der Komponenten:** \[ \frac{-12}{6} = -2, \quad \frac{6}{-3} = -2, \quad \frac{12}{-6} = -2 \] Alle Komponenten von \( \vec{n}_F \) sind das \( -2 \)-fache der entsprechenden Komponenten von \( \vec{n}_E \). **Schritt 2: Überprüfung der Konstanten** - Multiplizieren wir die Gleichung von \( E \) mit \( -2 \): \[ -2 \times (6x_{1} - 3x_{2} - 6x_{3}) = -2 \times 12 \] \[ -12x_{1} + 6x_{2} + 12x_{3} = -24 \] Dies entspricht genau der Gleichung von \( F \). **Schlussfolgerung:** Da sowohl die Normalenvektoren proportional sind als auch die Konstanten im gleichen Verhältnis stehen, handelt es sich bei den Ebenen \( E \) und \( F \) um **identische Ebenen**. **Antwort:** >Ebenen sind identisch